Was ist ein „Bild“ in der Quantenmechanik?

Um dies zu beantworten, braucht man ein bisschen Sprache. Die grundlegenden Observablen der Quantenmechanik sind weder Zustände noch Operatoren; Stattdessen sind die grundlegenden Observablen Matrixelemente der Form

$$\langle\varphi |A|\psi\rangle.$$ Im allgemeinsten Fall haben Sie möglicherweise eine zeitliche Abhängigkeit in den Zuständen des Formulars $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = H_\mathrm S|\psi(t)\rangle,$$ sowie Zeitabhängigkeit in den Operatoren, des Formulars $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A(t) = [H_\mathrm H,A(t)] +i\frac{\partial A}{\partial t}.$$ Wenn Sie diese beiden kombinieren, hat die zeitliche Entwicklung der fundamentalen Observablen die Form $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\varphi(t)|A(t)|\psi(t)\rangle = \left\langle\varphi(t)\middle|\bigg[H_\mathrm S+H_\mathrm H, A(t)\bigg] +i\frac{\partial A}{\partial t}\middle|\psi(t)\right\rangle .\tag{$*$}$$ Dies ist die grundlegende Zeitentwicklungsgleichung der Quantenmechanik, wo $H=H_\mathrm S+H_\mathrm H$muss der vollständige Hamiltonian des Systems sein, und jede Konstruktion, die mit dieser Form konsistent ist, ist in Bezug auf ihre experimentellen Vorhersagen äquivalent.

In dieser Sprache also

ein Bild ist eine Wahl, wie es partitioniert werden soll$\boldsymbol H$hinein$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf S}}$Und$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf H}}$.

Damit entspricht das Schrödinger-Bild der Wahl$H_\mathrm H=0$Und$H_\mathrm S=H$, das Heisenberg-Bild ist das Gegenteil, und Sie neigen dazu, "Interaktionsbild" als eine Reihe von Zwischenentscheidungen zu bezeichnen - obwohl klar sein sollte, dass es kein einzigartiges solches Bild gibt.

Die Bilder von Heisenberg und Schrödinger sind in einer abstrakten Umgebung eigentlich nicht gleichwertig.

Das Schrödinger-Bild entspricht dem Studium der Evolution von Quantenzuständen, das Heisenberg-Bild der Evolution von Quantenobservablen. Quantenobservable bilden eine Topologie$*$-Algebra und Quantenzustände sind Elemente ihrer dualen. Beschränken wir uns der Einfachheit halber auf beschränkte Observablen, die also einen Banachraum bilden (ein C$*$-Algebra), sowie die Zustände.

Nun muss die Evolution eine Gruppe kontinuierlicher linearer Abbildungen in einem der beiden Banachräume sein (Zustände für Schr, Observable für Heis). Bei Observablen muss es sich tatsächlich um eine Gruppe von Automorphismen der Algebra handeln. Trotzdem definieren wir in beiden Bildern eine Landkarte$t\mapsto U (t)$, bei dem die$U (t)$sind stetige lineare Operatoren im jeweiligen Banachraum. Es ist dann natürlich, die Kontinuitätseigenschaften der oben genannten Abbildung in Bezug auf die verschiedenen Topologien zu fragen, die auf dem Raum stetiger linearer Operatoren auf einem Banachraum verfügbar sind. Die Gruppe heißt dann z. B. schwach, stark oder gleichmäßig stetig. Solche Kontinuitätseigenschaften sind sehr wichtig, um die Struktur der Gruppe zu bestimmen. Wenn wir beispielsweise wollen, dass Zustände der Schrödinger-Gleichung gehorchen, müssen wir die Gruppe stark stetig sein.

Die Dualität zwischen den Schrödinger- und Heisenberg-Bildern ist angeblich dadurch gegeben, dass die Evolutionsgruppe der Observablen eine Evolutionsgruppe der Zustände durch die Dualität der topologischen Räume induziert. Eine Evolutionsgruppe auf Zuständen wiederum induziert eine Evolutionsgruppe auf dem Doppeldual von Observablen (das normalerweise größer ist als der Raum von Observablen). Das Problem ist, dass die Kontinuitätseigenschaften der Gruppe durch die Dualität nicht erhalten bleiben. Die einheitliche Stetigkeit ist die einzige, die erhalten bleibt, aber der Erzeuger einer gleichmäßig kontinuierlichen Gruppe ist begrenzt (und wir wissen, dass dies physikalisch relevante Hamiltonoperatoren nicht sind). Eine starke Kontinuität wird nicht bewahrt, und selbst wenn wir im Heisenberg-Bild eine stark kontinuierliche Gruppe haben, kann dies im Allgemeinen für die duale Gruppe im Schrödinger-Bild nicht der Fall sein. und so kann die Schrödinger-Gleichung möglicherweise nicht gelten. Andererseits ist es nicht garantiert, dass die duale Gruppe von Observablen Observablen auf Observablen abbildet, da sie auf Objekte des doppelten Duals abgebildet werden kann, die keine Observablen sind.

Das Wort "Bild" ist die englische Übersetzung des Begriffs in der ersten Sprache, in der dieses Konzept diskutiert wurde, nämlich das deutsche Wort "Bild" (genau wie das deutsche Magazin). Das „Heisenberg Bild“ war das erste Bild, das bekannt wurde.

Und dieser Begriff soll nichts anderes sein als ein informelles Synonym für das Wort „Repräsentation“. Wenn ein Künstler ein Gemälde malt, ist es eine Darstellung des Objekts, das er gemalt hat. Das Bild ist also auch eine Repräsentation unter Künstlern. Die Verwendung dieses Künstlerjargons erlaubt gewisse "Ungenauigkeiten". Das Bild muss keine "Repräsentation" in einem bestimmten strengen Sinne sein, der von Mathematikern definiert wird. Und die unterschiedlichen Bilder müssen nicht wirklich exakt und zuverlässig und universell äquivalent sein – auch wenn ich die Antwort wählen würde, dass die Bilder exakt äquivalent sind .

Aber die Heisenberg-, Schrödinger- und Wechselwirkungsdarstellungen sind Darstellungen in dem Sinne, dass bestimmte Operationen, die wir „phänomenologisch“ kennen, wie die Evolution durch die Zeit$\Delta t$(warte einige Zeit) werden durch verschiedene tatsächliche Transformationen auf die mathematischen Objekte in der Theorie repräsentiert – entweder durch eine Transformation des Zustandsvektors oder der Operatoren oder beides.

In diesem Sinne bedeutet das Wort „Bild“ nur „eine Übersetzung der Konzepte, die wir experimentell kennen, unabhängig von Theorien, in einige bestimmte mathematische Operationen und Symbole“. Die Übersetzung in die Sprache der Mathematik ist analog zur Schaffung eines Gemäldes durch den Künstler. Wenn Sie also eine solche Übersetzung in ein mathematisches Symbol vollständig angeben, haben Sie ein Bild, eine Darstellung der Welt um Sie herum gemalt.

Die Bilder entstanden zuerst in der Quantenmechanik. Klassische Physiker haben nie wirklich von „Bildern“ gesprochen. Das liegt daran, dass alle klassischen Theorien der Physik „Bilder“ für sich waren. Es wurde angenommen, dass sie direkt das widerspiegeln, was da draußen ist, und die oben erwähnte "Übersetzung" war daher einzigartig und trivial. Nur die Quantenmechanik hat erkannt, dass die Übersetzung zwischen mathematischen Objekten in unserer Theorie und den Beobachtungen etwas subtiler sein kann, weshalb es wünschenswert ist, darüber zu sprechen, alle möglichen Übersetzungen zuzulassen und ihre Äquivalenzen zu untersuchen, falls vorhanden.