Was ist eine vernünftige „Übersetzung“ der Schrödinger-Gleichung?

Man sollte bedenken, dass die Ableitung der Schrödinger-Gleichung ziemlich heuristisch ist, und dass Regeln wie

$$\begin{align} E\to \hat H&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \tag{1} \\ p\to \hat p&=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\tag{2} \end{align}$$ wurden zunächst mit ebenen Wellen „begründet“, da es empirisch stimmt, dass Teilchen Wellenverhalten zeigen. Also unter Verwendung der Einstein- und deBroglie-Beziehungen $E=\hbar \omega$Und $p=\hbar k$im ebenen Wellenausdruck $$\Psi(x,t)=A e^{i(px-Et)/\hbar}$$
man kann die Energie und den Impuls der ebenen Welle zurückgewinnen, indem man die entsprechenden Ableitungen nimmt und dann „ausklammert“ $\Psi(x,t)$: $$\begin{align} \hat H\Psi(x,t)&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)=E\Psi(x,t)\, ,\\ \hat p\Psi(x,t)&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\Psi(x,t)=p\Psi(x,t)\, . \end{align}$$
In diesem Sinne sind die Regeln von (1) und (2) nur „Tricks“ zur Wiederherstellung $E$Und $p$aus $\Psi(x,t)$Ableitungsoperatoren verwenden. Die Tricks beinhalten die Beobachtungen, dass für ebene Wellen (ausgedrückt als komplexe Exponentiale) die zeitliche Änderungsrate von $\Psi(x,t)$hängt mit der Energie zusammen, während die Änderungsrate im Raum von $\Psi(x,t)$hängt mit dem Impuls zusammen.

Die Überraschung ist vielleicht, dass die aus ebenen Wellen erhaltenen Regeln der Gleichungen (1) und (2) gültig bleiben, selbst wenn man ein Potential einbezieht$V(x)$(und somit sind die Lösungen keine ebenen Wellen mehr). In diesem Fall ist es am einfachsten, die Ableitungsregeln von (1) und (2) auf die vollständige Schrödinger-Gleichung mit Potential zu erweitern

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)\, . \tag{3}$$ damit dies mit der Aussage kompatibel wird, dass die Gesamtenergie des Systems die Summe aus kinetischem plus Potential ist: $$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)\, .\tag{4}$$

Unter Verwendung der Standardtrennung der Variablen für (3) ist der „Trick“, um die Energie des Zustands zu erhalten, immer noch eine Anwendung der Zeitableitung auf Lösungen der Form$\Psi(x,t)=e^{iEt/\hbar}\psi(x)$Wo$\psi(x)$erfüllt nun die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, die letztlich ein Ausdruck von (4) ist:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)\, .$$

Die Schwierigkeit besteht darin$\Psi(x,t)$hat keine direkte physikalische Interpretation (da es komplex ist). Die physikalisch sinnvolle Größe ist$\Psi(x,t)\Psi(x,t)^*$; Bei Lösungen mit fester Energie verschwindet die Zeitabhängigkeit (dies sind stationäre Lösungen). Wenn$\Psi(x,t)$hat keine faktorisierte Form$e^{-iEt/\hbar} \psi(x)$dann die zeitliche Ableitung von$\Psi(x,t)$nicht proportional zu sich selbst ist und die Verbindung zwischen der zeitlichen Ableitung und der Energie verloren geht: Dies ist keine Überraschung, da diese Art von Lösungen nicht so interpretiert werden, dass sie eine bestimmte Energie haben.