Zwei Ausdrücke für Erwartungswert der Energie

Das Wichtigste zuerst: Der Operator, der der Energie entspricht, ist der Hamilton-Operator, typischerweise geschrieben als$H$. Wenn Sie also den Erwartungswert der Energie erhalten möchten, werten Sie aus$\langle H\rangle$.

Nun, es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Eine Möglichkeit besteht darin, die Schrödinger-Gleichung zu verwenden, um zu erhalten

$$\langle H\rangle = \left\langle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\right\rangle = \int\Psi^*(x,t) i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{1}$$

Diese Berechnung ist völlig allgemein, dh sie gilt in jeder Situation, für die die Schrödinger-Gleichung gilt.

Ein anderer Weg zu bekommen$\langle H\rangle$ist die Definition des Hamilton-Operators zu verwenden, der in der nichtrelativistischen QM steht

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)$$

Das gibt dir

$$\begin{align}\langle H\rangle &= \biggl\langle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr\rangle \\ &= \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{2}\end{align}$$

Entweder (1) oder (2) funktioniert im Allgemeinen.

Nur für ein freies Teilchen das Potential$V(x,t)$ist null, und Sie erhalten

$$\langle H\rangle = \int\Psi^*(x,t)\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\biggr)\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x$$

Das ist der Ausdruck, den Sie auf dieser Webseite gesehen haben.

Zunächst einmal gibt es oben einige sehr irreführende Antworten. Einführende Quantenkurse diskutieren „Zeit“ nicht richtig. Es ist ein Parameter, kein Observable. E(operator)=ih(bar) d/dt hat keine Bedeutung. Dieser Operator beschreibt einfach die zeitliche Entwicklung einer komplexen Wellenfunktion. Es beschreibt also keine physikalische Observable. Ich weiß, dass dies aufgrund der Unsicherheitsbeziehung zwischen Zeit und Energie schwer zu schlucken sein könnte. Aber täuschen Sie sich nicht, die in der Unschärferelation diskutierte „Zeit“ ist eher ein Intervall als eine Observable. Vielleicht ist es einfacher zu verstehen, was ich meine, wenn ich über eine Frage nachdenke: Wann ist der Nullpunkt der Zeit? Wir können einen nicht feststellen, wie wir einen räumlichen Ursprung feststellen können. Um den Erwartungswert der Energie zu berechnen, war also die Verwendung des Hamilton-Operators erforderlich.

Zweitens die Notation. = . Beides ist akzeptabel.

Dritte aus. Das freie Teilchen ist wirklich knifflig. Ein einzelner Eigenzustand ist kein physikalisch realisierbarer Zustand. Nur eine Linearkombination ist physikalisch realisierbar. Dies mag im Sinne von V = 0 auch im unendlichen Brunnen ungenau erscheinen, aber diese Zustände sind physikalisch realisierbar. Was Sie beachten sollten, ist, dass der Brunnen aus gebundenen Zuständen besteht, bei denen der Index für die Eigenzustände diskret ist (dh: n = 1,2,3, ...), das freie Teilchen jedoch aus Streuzuständen besteht, bei denen der Index für die Eigenzustände sind kontinuierlich (dh: n = alle und ALLE reellen Zahlen). Als Ergebnis handelt es sich um eine Fourier-transformierte Wellenfunktion.

Wie Davids Antwort feststellt, sind diese beiden Ausdrücke beide richtig. Sie sollten einander in allen Fällen gleich sein. Für einen bestimmten Fall können Sie überprüfen, ob sie einander gleich sind, indem Sie tatsächlich beide ausrechnen. Als Ergänzung zu Davids Antwort dachte ich, ich würde diesen speziellen Fall durchgehen.

Ich werde schummeln, weil ich weiß, dass die Wellenfunktion für das freie Teilchen gilt$\Psi(x,t) = A\exp(-iEt/\hbar)\exp(i\sqrt{2mE}x/\hbar)$. Nehmen Sie die entsprechenden Ableitungen:

$$\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = (-iE/\hbar) \Psi(x,t)$$ $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) = (i\sqrt{2mE}/\hbar)^2\Psi(x,t) = (-2mE/\hbar)\Psi(x,t)$$ Stecken Sie diese in Ihre beiden Ausdrücke für $\langle E \rangle$; Die Konstanten heben sich alle auf und geben Ihnen $\langle E \rangle = E\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi\,dx = E$für beide.