Über die Verwendung von Hamiltonoperatoren für Helium

Der Hamiltonoperator von Helium kann als Summe zweier Wasserstoff-Hamiltonoperatoren und der der Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen ausgedrückt werden.

H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 + H ^ 1 , 2 .

Die Wellenfunktion für Parahelium (Spin = 0) ist

ψ ( 1 , 2 ) = ψ S ( R 1 , R 2 ) ξ ˙ A ( S 1 , S 2 ) wobei die erste eine symmetrische räumliche Funktion und die zweite eine antisymmetrische ist.

Wir können dies in die normalisierte Funktion zerlegen

ψ S ( R 1 , R 2 ) = 1 2 [ ψ 1 ( R 1 ) ( ψ 2 ( R 2 ) + ψ 1 ( R 2 ) ( ψ 2 ( R 1 ) ] = ψ S ( R 2 , R 1 )

Für Orthohelium sehen die Funktionen so aus:

ψ ( 1 , 2 ) = ψ A ( R 1 , R 2 ) ξ ˙ S ( S 1 , S 2 ) ψ A ( R 1 , R 2 ) = 1 2 [ ψ 1 ( R 1 ) ( ψ 2 ( R 2 ) − ψ 1 ( R 2 ) ( ψ 2 ( R 1 ) ] = − ψ A ( R 2 , R 1 )

Zeigen Sie, dass der Grundzustand von Helium Parahelium ist. Der Hinweis ist, was mit der Wellenfunktion passiert.

OK, also beginne ich damit, dass der Hamiltonoperator der gegebenen Wellenfunktion(en)

H 1 = ℏ 2 2 M ∂ ψ ∂ 2 R 1 2 = E 1 ψ
H 2 = ℏ 2 2 M ∂ ψ ∂ 2 R 2 2 = E 2 ψ
H 1 , 2 = − e 2 4 π ϵ 0 R 1 , 2

OK, ich habe versucht, in den Griff zu bekommen, wie ich damit anfangen soll. Also wollte ich überprüfen, ob das, was ich oben habe, "erlaubt" ist - das heißt, ist die zweite Ableitung (eigentlich die Nabla) der Psi-Funktionen auf diese Weise behandelbar, da sie alle zwei Variablen (eigentlich zwei Positionsvektoren) haben in ihnen? Im Grunde geht es darum, wie ich die anfänglichen Differentiale aufstelle, die ich lösen würde.

EDIT: Eine Sache, an die ich gedacht habe, war dies (z H 1 ):

H 1 = − ℏ 2 2 M ( ∂ ψ ∂ 2 R 1 2 + ∂ ψ ∂ 2 R 2 2 ) = E 1 ( ψ 1 ( R 2 ) + ψ 1 ( R 1 ) )

aber wieder weiß ich nicht, ob das koscher ist.

Trotzdem denke ich, dass Sie die Coulomb-Wechselwirkungen vermissen H 1 Und H 2 .
Ψ S Und Ψ Ö R T H Ö sind keine Eigenfunktionen des totalen Hamiltonoperators. Es wird normalerweise getan, um die Energien in beiden Fällen zu vergleichen. Es beläuft sich nur darauf, den "Durchschnitt" von zu nehmen H 12 mit beiden Funktionen und liefert eine Abschätzung für die Differenz der Energien. Im Grunde ist es die Störungstheorie erster Ordnung. Im Buch von Bethe & Salpeter gibt es mehrere Ansätze zu den Energien des Heliumatoms.
OK, was bedeutet das für die Einrichtung des ersten Teils des Problems?

Antworten (1)

Ich bin mir nicht sicher, wie genau Sie darüber sein wollen, aber aus meiner Sicht müssen Sie nicht viel über die tatsächlichen Wellenfunktionen wissen, um zu zeigen, dass Parahelium eine niedrigere Energie hat. Tatsächlich ist es aufgrund des Wechselwirkungsterms unmöglich, eine exakte Wellenfunktion für Helium zu schreiben. Ich werde dies nicht für Sie beantworten, da dies wie eine Hausaufgabenfrage aussieht, aber ich werde versuchen, den Hinweis zu erweitern, damit Sie es leichter selbst lösen können. Da Elektronen Fermionen sind, wissen wir, dass die Wellenfunktion dieses Systems unter Teilchenaustausch vollständig antisymmetrisch sein muss. Im Parahelium-Fall ist der Spinzustand unter diesem Austausch antisymmetrisch, daher wissen wir, dass die räumliche Wellenfunktion symmetrisch sein muss. Denken Sie über die Zustände nach, die Sie unter dieser Einschränkung konstruieren können, und vergleichen Sie sie mit dem Fall von Orthohelium.

Ich habe das Gefühl, ich sollte auch hinzufügen, dass Ihre Ausdrücke für den Hamiltonian fehlen 1 / R mögliche Begriffe, aber abgesehen davon sieht das, was Sie geschrieben haben, "koscher" aus.

Das hilft und nein, ich habe nicht nach einer Antwort gesucht, die Sie meinen – ich wollte nur sichergehen, dass ich richtig anfing. Ich war mir nicht sicher, ob es in Ordnung war, das zu trennen ψ ( R 1 , R 2 ) funktioniert innerhalb des Hamiltonoperators auf diese Weise. Also hätte ich (mit den möglichen Begriffen) H 1 = − ℏ 2 2 M ( ∂ 2 ψ 1 ∂ R 1 2 + ∂ 2 ψ ∂ R 2 2 − 2 e 2 4 π ϵ 0 R − 2 e 2 4 π ϵ 0 R ) = E 1 ( ψ 1 ( R 2 ) + ψ 1 ( R 1 ) )
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