Eine einfache Erklärung für die Schrödinger-Gleichung und das Atommodell? [geschlossen]

Probieren Sie diese Erklärung für die Größe aus: So denke ich gerne über die Schrödinger-Gleichung und ziemlich nahe daran, wie Richard Feynman sie in seiner Diskussion des Hamilton-Operators in den "Feynman Lectures on Physics" in Kapitel 8 "The Hamiltonian Matrix" einführt dritter Band. Dies wäre eine gute Referenz für Sie, wenn Sie von der Wikipedia-Seite überwältigt sind.

Hintergrund

Angenommen, wir akzeptieren, dass der "Zustand" eines Systems als Vektor in einem Hilbert-Raum codiert ist (dh im Wesentlichen ein Vektorraum, in dem innere Produkte und Normen definiert sind): Betrachten wir zum Beispiel einen harmonischen Quantenoszillator, also werden wir den Zustand codieren als eine diskrete Folge komplexer Zahlen$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$, so dass$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$.$\psi_0$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass das System im Quantengrundzustand erkannt wird, dh so nah wie man an "nicht erregt" kommen kann, ohne die Heisenberg-Ungleichung zu verletzen,$\psi_1$die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich der Oszillator in einem Ein-Photonen-Zustand befindet, dh seine Energie ist$\hbar \omega$,$\psi_2$die Amplitude, dass es sich um einen Zwei-Photonen-Zustand handelt, und im Allgemeinen$\psi_N$die Haltung, die in einem ist$N$-Photonenzustand; oder, wenn Sie möchten, die Amplitude, die es hatte$N$-Photonen, die von irgendwo außerhalb des Oszillatorsystems zu seinem Grundzustand hinzugefügt werden. Allgemeiner gesagt, die$\psi_j$sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden, mit denen das System erkannt wird$j^{th}$Basiszustand: Einer der Basisvektoren für den Hilbert-Zustandsraum, und sie müssen nicht die gleichabständigen Zustände des harmonischen Oszillators sein – es könnte ein ganz anderes System sein. Offensichtlich muss das System immer in einem bestimmten Zustand sein, also die Beziehung$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$hält immer.

Die Grundideen

Die Schrödinger-Gleichung ist sehr allgemein: Sie besagt einfach, dass der Aufbau und die Funktionsweise eines Quantensystems in gewissem Sinne „konstant“ sind, wenn das System vom Rest der Welt getrennt ist. Sinnvoller ist diese vage Aussage in Symbolen: Die mathematische Beschreibung muss gegenüber Zeitverschiebungen invariant sein: Wenn ich mit einem Quantenzustand um 12 Uhr beginne und ihn bis 1 Uhr entwickle, dann geht meine Zustandsentwicklung zu genauso sein, als ob ich um 4 Uhr mit dem gleichen Zustand anfing und bis fünf Uhr wartete. Nun nehmen wir Linearität an, sodass sich unser Zustandsvektor (jetzt als Spaltenvektor geschrieben) nach einer Matrixgleichung entwickeln wird:$\psi(t) = U(t) \psi(0)$, wo Zustandsübergangsmatrix$U(t)$muss:

1. Erfüllen$U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$für beliebige Zeitintervalle$t$Und$s$. Dies ist einfach unsere Diskussion über die Zeitverschiebungsinvarianz oben. Sofort wissen wir es$U(t) = \exp(A t)$, für eine konstante Matrix$A$da die Exponentialfunktion die einzige stetige Funktion mit dieser Zeitverschiebungs-Invarianzeigenschaft ist;
2. Es muss einheitlich sein, das heißt, es muss Normen bewahren, damit$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$gilt zu jeder Zeit: Dies besagt einfach, dass sich das System aufgrund der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der quadrierten Größen in einem bestimmten Zustand befinden muss . Welche Begründung haben wir dafür? Nun, wenn der Zustand außerhalb unseres Hilbert-Zustandsraums wandert, dann wäre dieser Hilbert-Raum keine gute Beschreibung aller möglichen Zustände des Systems. Also würden wir unserem Hilbert-Raum einfach Basisvektoren hinzufügen und ihn erweitern, bis er eine gute Beschreibung aller möglichen Zustände des Systems wäre.

Die allgemeinste mögliche Zustandsentwicklung ist also$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$, Wo$\hat{H}$ist eine konstante, hermitische Matrix (dies entspricht der Einheitlichkeitsaussage). Dies wiederum ist äquivalent zu:

das ist die Schrödinger-Gleichung. Hoffentlich sollte die wesentliche Natur der Schrödinger-Gleichung jetzt klar sein:

Die Schrödinger-Gleichung für ein Quantensystem behauptet (i) die Zeitverschiebungsinvarianz des Systems und (ii) dass sich das System immer in einem bestimmten Zustand im Zustands-Hilbert-Raum befinden muss, wenn dieses System vom Rest der Welt getrennt wird

Denken Sie für dieses Argument einfach an$i$Und$\hbar$als Konstanten habe ich willkürlich aus der rechten Seite herausgezogen. Sie machen die Observables – die Operatoren, die Messergebnisse bei gegebenem Systemzustand definieren$\psi$- einfacher zu interpretieren. Wir ziehen die Konstante$i$heraus, so dass unsere Einheitlichkeit Bedingung ist, dass unsere$\hat{H}$Die Matrix ist eher hermitesch als schiefhermitesch (dh ihre Eigenwerte und somit mögliche Messergebnisse sind eher real als imaginär) und die$\hbar$hat zwei Funktionen:

1. $\hat{H}$ist eine grundlegende zeitkonstante Observable; Erhaltungsgrößen - dh solche, die sich nicht mit der Zeit ändern - sind diejenigen, deren Observablen mit pendeln$\hat{H}$. Diese Aussage können Sie mit etwas mehr Aufwand aus der Schrödinger-Gleichung ableiten (zB durch Transformation in das Heisenberg-Bild ). Das kann man also postulieren$\hat{H}$ist die beobachtbare Energie. Daher benötigen wir eine einheitenausgleichende Skalierungskonstante, um den Exponenten in in dimensionslos zu machen$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$;
2. Sie gibt den Ausdruck der Heisenbergschen Unschärferelation in ihrer saubersten Form wieder. Aber das ist eine andere Geschichte als die Schrödinger-Gleichung: siehe meine Antwort hier .

Man entscheidet sich oft dafür, die Zustandsraumkoordinaten zu transformieren und die Bedingung der Zeitverschiebungsinvarianz zu lockern. In diesem Fall erhalten wir die zeitvariable Schrödinger-Gleichung, wie ich sie hier beschreibe .

Eine letzte Sache, die Ihnen vielleicht mysteriös erscheinen mag, ist, dass die Wiki-Seite kontinuierliche Wellenfunktionen anstelle von diskreten Zustandsvektoren behandelt. Das ist einfach eine Koordinatenänderung: Denken Sie, wenn Sie möchten, an diskrete Fourier-Komponenten, die als Beispiel eine äquivalente kontinuierliche Funktion darstellen. Die obigen Argumente zur Schrödinger-Gleichung funktionieren im Prinzip genauso gut, ob$\psi$kann ein diskreter Spaltenvektor sein$\{\psi_j(t)\}_{j=0}^\infty$oder eine stetige Funktion$\psi(\mathbf{r},\,t)$eines Vektors von Variablen$\mathbf{r}$, zum Beispiel Position. Unter geeigneten Bedingungen können kontinuierliche Funktionen auch als in einem abzählbar unendlich dimensionalen Hilbert-Raum lebend angesehen werden. Es hängt einfach von der bequemsten Beschreibung für das vorliegende Problem ab.