Stationäre Zustände der Quantenmechanik

Question

Stationäre Zustände der Quantenmechanik

WALL-E

Ich besuche einen Einführungskurs in die Quantenmechanik und habe einige Probleme zu verstehen, was genau mit den Teilchen in stationären Zuständen vor sich geht, im Gegensatz zu ihrer Linearkombination, die die vollständige Lösung der Schrödinger-Gleichung ist.

In Griffiths Buch sagt er, die Schrödinger-Gleichung sei analog zu Newtons zweitem Gesetz, also sei die Wellengleichung analog zur Flugbahn des Teilchens. So $Ψ(x,t=a)$ ist analog zu der klassischen Aussage, wo sich das Teilchen während der Zeit a bei x befindet. Bisher bewegt sich das Partikel nicht, es kann nur an bestimmten Stellen erscheinen (definiert durch $|Ψ|^2$ wenn wir es messen würden).

In Kapitel 2 sprechen wir über stationäre Zustände. Sie besagt, dass es sich um Zustände definierter Gesamtenergie handelt $K+V=H$ Und $Ψ(x,t)=Ψ(x)e^{-\mathrm{i}Et/h}$ . Bewegt sich das Teilchen oder was macht es in diesen Zuständen? Ist ein stationärer Zustand analog zu einem klassischen geschlossenen System, in dem die Gesamtenergie erhalten bleibt und keine Arbeit am System verrichtet wird? Wenn ja was tut $Ψ(x,t)=\sumΨ(x)e^{-\mathrm{i}Et/h}$ darstellen, Arbeit, die an dem Teilchen verrichtet wird?

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Stationäre Zustände der Quantenmechanik

Benutzer108787 · Answer 1

Lösungen, die geschrieben werden können als

Ψ (X, T) = Φ (X) e^{- ich E T / ℏ}

$\Psi (x, t) = \Phi (x) e^{-iEt/\hbar}$ werden stationär genannt.

Um dies zu beweisen

| Ψ (X, T) |^{2} = Ψ^{*} (X, T) Ψ (X, T)

$|\Psi (x, t)|^2 = \Psi^* (x, t)\Psi (x, t)$

= (Φ (X) e^{- ich E T / ℏ})^{*} Φ (X) e^{- ich E T / ℏ}

$= (\Phi (x)e^{-iEt/\hbar})^*\Phi (x)e^{-iEt/\hbar}$

\begin{aligned} = Φ^{*} (X) e^{ich E T / ℏ} Φ (X) e^{- ich E T / ℏ} \\ = Φ^{*} (X) Φ (X) \\ = | Ψ (X) |^{2} \end{aligned}

$\begin{align} &=\Phi ^*(x)e^{iEt/\hbar}\Phi (x)e^{-iEt/\hbar}\\ &=\Phi ^*(x)\Phi(x)\\ &=|\Psi (x)|^2\\ \end{align}$

Die Abhängigkeit von $t$ ist verschwunden. Der räumliche Teil der Wellenfunktion erfüllt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. (TISE)

In Kapitel 2 sprechen wir über stationäre Zustände. Ich sage, dass sie Zustände definierter Gesamtenergie K+V=Hamiltonsch sind. Bewegt sich das Teilchen oder was macht es in diesen Zuständen? Ist ein stationärer Zustand analog zu einem klassischen geschlossenen System, in dem die Gesamtenergie erhalten bleibt und keine Arbeit am System verrichtet wird? Wenn ja, was stellt die Wellenfunktion dar, Arbeit, die an dem Teilchen verrichtet wird?

In dem Auszug aus Ihrem Beitrag ist klar, dass Sie in klassischen Begriffen denken, es ist eigentlich das Wort stationär , das Sie verwirrt.

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung heißt stationär, weil die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht von der Zeit abhängt. $V(x)$ hat keine Zeitabhängigkeit.

Es hat nichts mit Arbeit zu tun, es ist nur so, dass das Wort "stationär" jetzt den potenziellen Begriff bedeutet $V (x)$ in TISE hat keine Zeitvariable. Sie verfangen sich in klassischen Ideen, weil Ihnen nicht klar gemacht wurde, was stationär in der Quantenmechanik bedeutet , Sie denken darüber nach, was es in der klassischen Mechanik bedeutet.

Aber was macht das Teilchen? Ich weiß, in der klassischen finden wir Position, Bahn des Teilchens, Geschwindigkeit, Energie ext. Bisher hat Quanten IV nur Lösungen für eine ehrerbietige Gleichung gefunden, aber ich bin mir nicht sicher, was das Teilchen in den Zuständen tut. Wahrscheinlichkeiten ändern sich mit der Zeit in den Überlagerungszuständen, was bedeutet das für das Teilchen, was mit ihm passiert. Bewegt es sich, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, was ist mit der Geschwindigkeit, die bei dieser Sache mit der Lösung eine Rolle spielt?

Aber was macht das Teilchen?

Um es ausdrücklich auszudrücken, diese Frage hat keine Bedeutung, wenn Sie eine Überlagerung von Zuständen betrachten, da, wenn es sagen wir, 5 Energieniveaus gibt, in denen sich das Elektron gleichzeitig in allen oder einem von ihnen "befinden könnte" (oder tatsächlich befindet ) . Das einzige Energieniveau, das wirklich wichtig ist, ist das, in dem wir es finden, wenn wir das System messen.

Bewegung und Geschwindigkeit sind Konzepte, die sich nicht gut auf die Quantenwelt übertragen lassen. Wenn Sie einen Fußball aufs Tor schießen, können Sie seine Geschwindigkeit und Position (durch Hinsehen) jederzeit leicht messen.

Aber ein Elektron, sagen wir, hat keine bestimmte Flugbahn, wenn man es nicht misst, kann man davon ausgehen, dass es sich in einer Überlagerung von Zuständen befindet. Es gibt also keinen bestimmten Weg, sondern nur eine Wahrscheinlichkeit , das Elektron dort zu finden, wo Sie es erwarten. Die gleiche Argumentation gilt für die "Geschwindigkeit" des Teilchens.

Wenn Sie ein eindimensionales S. E lösen, erhalten Sie eine Überlagerung von Zuständen, die sich alle im Laufe der Zeit entwickeln. Aber später müssen Sie eine echte 3D-Gleichung lösen, wie die Elektronenzustände um einen H-Kern.

Denken Sie an Energie statt an Bewegung und Geschwindigkeit. Auf diesem Energieniveau sind Bewegung und Geschwindigkeit nicht wichtig, nur Energie ist wichtig, weil das Elektron den Regeln dieses Energieniveaus folgen muss.

Sie haben eine Überlagerung von Zuständen, alle mit unterschiedlichen Energien und einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, sich in einem bestimmten Energiezustand zu befinden. Wenn Sie messen, finden Sie 1 Zustand mit einer bestimmten Energie und die Überlagerung ist weg. Wenn du weggehst und dann zum H-Atom zurückkommst, fängt das Ganze wieder an. Sobald Sie es messen, "frieren" Sie das System ein, aber dann geht es zurück in ein System von "vielleicht dieses Energieniveau", "vielleicht jenes Energieniveau".

So sieht QM aus.

Die Energieniveaus um ein H-Atom liegen bei bestimmten diskreten Werten.
Wenn sich ein Elektron auf diesem Energieniveau befindet, werden seine "Bewegung und Geschwindigkeit" durch seine Energie bestimmt.
Die anderen Überlagerungszustände verschwinden, sodass Sie sich bei einer Messung nicht darum kümmern müssen.
Sobald Sie Ihre Messung beendet haben, geht alles wieder auf eine Zustandsüberlagerung zurück.

Ein Bild der Zustände, in denen sich ein bestimmtes Elektron befinden könnte, wissen Sie nicht, bis Sie es messen.

\begin{align}Sie wissen, dass Sie hier Umgebungen verwenden können , oder? Außerdem \expsieht es viel besser aus, wenn es mit einem Backslash versehen ist.
Aber was macht das Teilchen? Ich weiß, in der klassischen finden wir Position, Bahn des Teilchens, Geschwindigkeit, Energie ext. Bisher hat Quanten IV nur Lösungen für eine ehrerbietige Gleichung gefunden, aber ich bin mir nicht sicher, was das Teilchen in den Zuständen tut. Wahrscheinlichkeiten ändern sich mit der Zeit in den Überlagerungszuständen, was bedeutet das für das Teilchen, was mit ihm passiert. Bewegt es sich, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, was mit der Geschwindigkeit spielt das eine Rolle bei dieser Sache mit der Lösung?
Ich habe meine Antwort auf Ihre letzte Frage aktualisiert und versucht zu erklären, warum Bewegung und Geschwindigkeit in QM unterschiedlich sind.

Stationäre Zustände der Quantenmechanik

WALL-E

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Benutzer108787

Emilio Pisanty

WALL-E

Benutzer108787

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