Wie bricht die Wellenfunktion zusammen, wenn ich die Position messe?

1. Nein, es kollabiert nicht in einen Eigenzustand. Der Kollaps in einen Eigenzustand ist ein Bild einer idealen Messung. Im Allgemeinen wird der Endzustand nicht durch eine Wellenfunktion beschreibbar sein, da es sich nicht um einen reinen Zustand , sondern um einen gemischten Zustand handelt . Siehe diese Frage , bei der es um ungenaue Messungen geht.

2. Ortseigenzustand in Ortsdarstellung ist$\langle x_{}|x_0\rangle=\delta(x-x_0)$. Damit ergibt sich in der Impulsdarstellung:$\langle p_{}|x_0\rangle=e^{\frac{i}{\hbar}px}$. Für diese Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte konstant, daher ist ihr Erwartungswert undefiniert (man kann keinen Mittelpunkt einer unendlichen Linie finden). In ähnlicher Weise ist auch für freie Teilchen der Erwartungswert der Energie undefiniert. Denn ein solcher Zustand ist eine Abstraktion, ein nützliches mathematisches Werkzeug. Natürlich können solche Zustände nicht in einem realen Experiment präpariert werden, aber man kann dem sehr nahe kommen, zB ein Elektron auf einen winzigen Spalt schießen und den Zustand des Elektrons genau am Ausgang dieses Spaltes beobachten.

Um den Erwartungswert der Energie im Positionseigenzustand zu finden, machen Sie den ersten Fehler, den Sie mit der Formel machen$\overline E=\langle x|\hat H|x\rangle$vergisst, den Eigenvektor zu normalisieren. Der Positionsoperator hat jedoch ein kontinuierliches Spektrum, wodurch alle seine Eigenvektoren nicht normalisierbar sind (dh wenn Sie versuchen, sie zu normalisieren, erhalten Sie einen Nullvektor, der als Zustand bedeutungslos ist). Daher können Sie den Erwartungswert der Energie nicht direkt im Positionseigenzustand finden.

Die Wellenfunktion wird "reduziert", was bedeutet, dass der kontinuierliche Bereich von Zuständen (Positionen) mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null in der Größe reduziert wird. Aufgrund der Quantenunsicherheit der bei der Messung verwendeten Sonde oder des Messgeräts selbst wird es jedoch nie zu einem einzigen Eigenzustand. Diese Ungewissheit kann niemals genau Null erreichen.

Positionsmessungen sind von der unglücklichen Sorte, die nicht mit aufeinanderfolgenden Messungen verfeinert werden, aufgrund der Rückwirkung der Positionsmessung auf den Impuls, der wiederum die gerade gemessene Position beeinflusst. Das heißt, das Messen der Position zerstört die gerade gemessene Position. Andererseits können Impulsmessungen nicht zerstört werden , so dass aufeinanderfolgende Messungen die Größe des Bereichs von Impulszuständen mit Wahrscheinlichkeit ungleich Null weiter reduzieren.

Das liegt an der Natur der Quantenmechanik.

Im klassischen Regime ist die niedrigstmögliche Energie Null. Aber in QM hat der niedrigste Zustand (Grundzustand) immer noch Energie. Quantennatur ist Wellennatur. In CM können Sie einen Ort eines Objekts lokalisieren, aber in QM ist es eine Verteilung (Wahrscheinlichkeitsdichte). Was Sie tun können, ist nur die kleinste Verteilung zu finden, nicht einen bestimmten Punkt eines Objekts.

Zu Ihrer Frage: Es liegt an der Wellennatur: Das sagt das Unsicherheitsprinzip$\Delta x \: \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$. Wenn Sie also versuchen, einen Ort zu messen,$\Delta x$(Positionsabweichung) Null wird und um diese Beziehung zu erfüllen, Ihre$\Delta p$muss wirklich groß sein (wie eine Delta-Funktion). Sobald Sie also die Messung durchführen, zerstören Sie einfach die Wellenfunktion. Nachdem Sie die exakte Messung an etwas in QM durchgeführt haben, zerstören Sie einfach dieses „Etwas“ und können nichts darüber sagen, wie z. B. seine Energie.

1. Nein. Der Positionsoperator hat keine normalisierbaren Eigenfunktionen ($\delta(x-x_0)$ist nicht normalisierbar). Das Nächste, was man in diesem Formalismus tun kann, ist, die Wellenfunktion basierend auf der Genauigkeit der Messung auf einen scharfen Peak mit einer Breite ungleich Null und einer endlichen Höhe zu kontrahieren.

2. Bei kontinuierlichem Raum kann sich das Teilchen nicht in einem "Eigenzustand der Position" befinden, da es so etwas dort nicht gibt. Auf einer diskreten Menge zulässiger Positionen wäre dies möglich, aber die gesamte Physik und der Formalismus wären sehr unterschiedlich.