Eigenzustand vs. kollabierte Wellenfunktion

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}$Es gibt kein "Aussehen wie eine kollabierte Wellenfunktion", selbst wenn Sie glauben, dass es einen Kollaps gibt.

Gehen wir zum endlichdimensionalen Fall und haben ein einfaches zweistufiges Spinsystem, dh unser Hilbert-Raum wird zB von den bestimmten Spinzuständen in aufgespannt$z$-Richtung$\ket{\uparrow_z}$,$\ket{\downarrow_z}$.

Jetzt der Staat$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow_z} + \ket{\downarrow_z})$ist kein Eigenzustand von$S_z$, und Messung von$S_z$wird es mit gleicher Wahrscheinlichkeit in zusammenbrechen$\ket{\uparrow_z}$oder$\ket{\downarrow_z}$. Dies ist jedoch ein Eigenzustand des Spin-in$y$-Richtung, dh$\ket{\psi} = \ket{\uparrow_y}$(oder nach unten, das müssten wir rechnerisch überprüfen, aber das spielt für dieses Argument keine Rolle). Also, obwohl Sie "kollabieren" können$\ket{\psi}$In andere Zustände sieht es nach Ihrer Logik bereits wie ein zusammengebrochener Zustand aus. Dies zeigt, dass die Vorstellung, „wie ein zusammengebrochener Zustand auszusehen“, zunächst nicht sehr nützlich ist.

Darüber hinaus scheinen Sie verwirrt zu sein über den Unterschied zwischen einer Messung (die in einigen Wörterbüchern einen Kollaps hervorruft) und der Anwendung eines Operators. Du sagst

Wenn also der Hamiltonian auf ein System in einer dieser Eigenfunktionen einwirkt, kollabiert dieses System immer an demselben Punkt im Raum?

aber das ist unsinnig. Die Aktion des Hamilton-Operators ist ein infinitesimaler Zeitschritt, wie die Schrödinger-Gleichung sagt:

und für einen Eigenzustand$\ket{\psi_n}$, die eine Lösung der zeitunabhängigen Gleichung mit Energie ist$E_n$, haben Sie per Definition $H\ket{\psi_n} = E_n\ket{\psi_n}$, das heißt, der Hamilton-Operator ist eine "nichts tun"-Operation für Eigenzustände, da die Multiplikation mit einer Zahl den Quantenzustand nicht ändert. Aus diesem Grund interessieren uns schließlich die Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung – denn das sind die stationären Zustände, die sich nicht mit der Zeit entwickeln. Das hat nichts mit Kollaps oder Messung zu tun.

Schließlich sind genau bestimmte Ortszustände streng genommen keine Quantenzustände, da die „Eigenfunktionen“ des Ortsoperators „Multiplikation mit x“ Dirac-Deltas sind $\psi(x) = \delta(x-x_0)$, die keine echten quadratintegrierbaren Funktionen sind$L^2(\mathbb{R})$wie Quantenzustände normalerweise erforderlich sind. Aber ja, das ist "eine Spitze", und umgekehrt sind die bestimmten Impulszustände ebene Wellen$\psi(x) = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px}$.

Wenn ein gegebener Zustand ein Eigenzustand einer bestimmten Observablen ist, dann hat diese Observable eine Standardabweichung von 0, aber das sagt nichts über die Verteilung anderer Observablen aus. Das extreme Beispiel dafür sind die Eigenzustände von Ort und Impuls; Ein Impuls-Eigenzustand wird im Impulsraum durch eine Delta-Funktion dargestellt, aber im Raum wird er durch eine unendliche ebene Welle dargestellt, und die Position des Teilchens ist völlig ungewiss.

Ein Energie-Eigenzustand in einem quadratischen Well ist ein weniger extremes Beispiel. Seine Energie ist perfekt definiert, aber seine Wellenfunktion, die Ihnen etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Positionsmessungen sagt, ist eine Sinuswelle. Mit anderen Worten, Sie können die Energie eines Systems in diesem Zustand beliebig oft messen und erhalten immer das gleiche Ergebnis, aber wenn Sie eine Reihe von Teilchen in Kästen in allen im gleichen Energie-Eigenzustand aufstellen und dort messen Positionen, werden Sie feststellen, dass Sie zufällige Ergebnisse mit einer Verteilung erhalten, die durch das Mod-Quadrat der Wellenfunktion gegeben ist.