Quantenzustände nach realen Messungen

Okay danke. Wäre es eine Art Wellenpaket, das einer Dirac-Delta-Funktion ähnelt? Was ist die Natur dieses Wellenpakets?

Ich denke, es kommt auf die Art der Messung an. Wenn die Messung darauf abzielt, die Position des Teilchens genau zu bestimmen, würde ich erwarten, dass die "kollabierte" Wellenfunktion so etwas wie eine sehr leicht verbreiterte Delta-Funktion aussieht. Wenn die Messung einfach testet, ob sich das Teilchen in Appleton oder Cherryville befindet, würde ich erwarten, dass die kollabierte Wellenfunktion eine sehr breite Funktion ist, die eine dieser Städte abdeckt, die kaum einer Delta-Funktion ähnelt.

Betrachten Sie nur zum Spaß die Positionen A, B, C und D. Wenn die Messung das Teilchen in einem von zwei Zuständen (A oder B) oder (C oder D) erkennt, würde ich erwarten, dass die kollabierte Wellenfunktion eine lineare Kombination ist von zwei leicht verbreiterten Deltafunktionen, die entweder bei (A und B) oder (C und D) zentriert sind.

@JohnDoe: Sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenmechanik müssten Sie der Messung klassische statistische Fehler hinzufügen. In der Quantenmechanik geschieht dies üblicherweise mit einem mathematischen Objekt namens „Dichtematrix“, das sowohl die gemischten Zustände des quantenmechanischen Systems als auch alle statistischen Unsicherheiten beschreibt, die wir möglicherweise noch dazu haben. In der klassischen Mechanik gibt es aufgrund der fehlenden Linearität klassischer Systeme kein direktes Analogon, aber in der QM ist die Dichtematrix meines Wissens die vollständigste Beschreibung unseres Wissens über den Zustand eines Systems.

@CuriousOne Guter Punkt, aber würden Sie der vereinfachten Diskussion halber zustimmen, dass wir das Problem der Messung ohne Berücksichtigung klassischer statistischer Fehler betrachten können? Ich denke, die Frage des OP ist immer noch interessant, auch wenn wir nur reine Zustände betrachten.

@Ian: Das OP fragt nach nicht idealen Messungen, und ein echtes Messgerät versetzt das System immer in einen (leicht) gemischten Zustand. Ich denke, er kann mit der Wahrheit darüber umgehen. Wir könnten es zurückhalten, aber er würde unweigerlich in zehn Minuten (oder ein paar Wochen) mit einer Folgefrage dazu zurückkommen ... :-)

@CuriousOne Der klassische Messfehler ist meiner Meinung nach nicht der Schlüssel zu OPs Frage. Ich denke, die Essenz der Frage ergibt sich zB aus der Tatsache, dass Sie den Impuls eines Teilchens unmöglich mit unendlicher Genauigkeit messen können, weil Sie zB kein unendlich langes Labor haben. Die Messoperatoren, auf die wir Zugriff haben, lassen auch keine Delta-Funktionen aus der Messung zu, aber das liegt nicht am Rauschen. Okay, die praktischen Grenzen kommen vielleicht vom Rauschen, aber ich meine, es gibt da auch noch eine andere Grenze, denke ich.

@DanielSank: Nur weil es nicht in der Frage des OP steht, heißt das nicht, dass man nicht darüber nachdenken muss, wenn man verstehen will, was wirklich vor sich geht. Die Messoperatoren erlauben ganz gut Verteilungen, man muss nur die Funktionsanalyse ein wenig massieren. Was Delta-Funktionen nicht zulässt, ist die Tatsache, dass ein Messgerät nur eine endliche Menge an Masse-Energie für eine Messung aufwenden kann. Es ist die Relativitätstheorie am Werk, nicht irgendeine feine Sache der Mathematik.

@CuriousOne Ich garantiere Ihnen, dass Sie herausfinden würden, dass Sie selbst in einem nicht-relativistischen Universum keine Delta-Funktionen durch Messung erstellen können. Die Relativitätstheorie hat mit dieser Frage nichts zu tun.

@DanielSank: Es gibt kein nicht-relativistisches Universum außerhalb der Annäherungen der Quantenmechanik, die 1926 auf dem Niveau von Schrödinger stecken geblieben sind. Ist diese Annäherung selbstkonsistent? Nein. Es sollte nie sein und die Physiker der damaligen Zeit wie Dirac bewegten sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit darüber hinaus. Ich könnte eine Rede darüber halten, aber was soll's, Nima Arkani-Hamed hat viel getan und es ist alles auf YouTube. Ich möchte Sie einladen, sich seine Ideen darüber anzuhören, was mit Quantenmessungen im Grenzbereich der wirklich hohen Energie passiert. :-)

@CuriousOne Ich bin mit dem Relativitätsargument nicht vertraut. Könnten Sie dies in einer Antwort erläutern?

@Ian: Siehe z. B. youtube.com/watch?v=87lz3U4CkPU etwa 12 Minuten nach Beginn der Vorlesung.

@CuriousOne Ist die Tatsache, dass wir keine Delta-Funktion erhalten können, nur eine Grenze des Messgeräts? Soweit ich weiß, ist die Delta-Funktion nicht normalisierbar, aber unter Berücksichtigung der realen Unsicherheit der Messung wird der resultierende Zustand nach der Messung (der möglicherweise etwas Ähnliches, aber keine Dirac-Delta-Funktion ist) normalisierbar? Wenn es also ein perfektes Messgerät gäbe, könnten wir einen Zustand erhalten, der nicht existieren könnte, weil er nicht normalisierbar ist, ist das richtig? :/

@John Doe Das Problem hier ist, dass Sie eher ein perfektes Messgerät als die Grenze eines perfekten Messgeräts in Betracht ziehen. An der Grenze, wenn das Gerät perfekt wird, nähert sich die normalisierbare Wellenfunktion einer Delta-Funktion. Aber es bleibt normalisierbar, wenn Sie das Limit nehmen. Wenn Sie darauf bestehen, eher ein unphysikalisches perfektes Messgerät als seine Grenze zu betrachten, dann können wir sicher nicht normalisierbare Wellenfunktionen haben, da wir sowieso ein unphysikalisches Szenario betrachten.

@Ian Ja, ich verstehe, dass das Denken in Bezug auf eine Grenze erfolgen sollte, da ein solches Gerät nicht existieren könnte. Es ist nur interessant, dass sich die Theorie auf die mangelnde Genauigkeit der Messung stützt, um eine vollständige Beschreibung der physikalischen Realität zu sein. Findest du es interessant?

Ich finde das interessant und ich habe keine gute Antwort. Vielleicht hat @CuriousOne etwas dazu zu sagen.

@Ian: Am Ende des Tages überdenkst du dieses Problem. Wenn man auf der Erde Materie zu einem wirklich winzigen Volumen komprimieren will, braucht man einen Beschleuniger. Die ultimative Maschine, die wir derzeit haben, ist der LHC. Das ist es. Sie können 14 TeV im Schwerpunktsystem erhalten und Sie können eine Längenskala berechnen, die mit der in der Quantenfeldtheorie verbunden ist. Alles andere ist nur ein Haufen mathematischer Artefakte. Wenn Sie wissen wollen, wie die Delta-Funktion wirklich funktioniert, besorgen Sie sich ein Buch über Funktionsanalyse und es wird Ihnen alles erzählen, was Sie wissen wollen, aber nichts über Physik.

@CuriousOne Das ist ein großartiges Argument und es erklärt, warum wir kein perfektes Messgerät haben können. Aber John Doe bat uns, über ein perfektes Messgerät nachzudenken. Dies ist eine Frage/Antwort zur Theorie, nicht zur realen Welt. Meine Antwort berücksichtigt also die mathematische Grenze, wenn sich das Messgerät der Perfektion nähert, dh wenn wir das Teilchen mit einer Maschine, die unendlich viel stärker ist als der LHC, in eine verschwindende Längenskala quetschen können. Unabhängig davon, ob QM in dieser Grenze auf die reale Welt zutrifft oder nicht, habe ich eine Frage zu QM als eigenständige Theorie angesprochen.

@JohnDoe Nach dem Kommentar von CuriousOne ist die Logik nicht ganz korrekt, wenn Sie sagen, dass "sich darauf verlässt, dass ... eine vollständige Beschreibung der physikalischen Realität ist", da niemand behauptet, dass QM selbst an der Grenze verschwindender Unsicherheit physikalisch realistisch ist, geschweige denn für Unsicherheit tatsächlich gleich Null. Es gibt eine Obergrenze für die Energien, bei denen QM gilt. Daher haben wir überall dort, wo QM gilt, ohnehin ungenaue Messungen. Niemand muss ein Axiom der ungenauen Messung durchsetzen, damit QM physikalisch realistisch ist, da uns die Natur innerhalb der Grenzen der QM bereits eine ungenaue Messung gibt.

@Ian: Dann ist es eine Frage über Mathematik und die Antwort findet sich in Büchern über Funktionsanalyse, was eine ca. 100 Jahre altes Feld inzwischen. Es ist irgendwie interessant und ich habe während meines Studiums drei Mathematik-Hauptkurse darüber absolviert, aber als mathematische Disziplin ist es eine "physikfreie Zone".