Impuls und Energie eines freien Teilchens messen

Wir messen also einen bestimmten Impuls- oder Energiewert, der ein Eigenwert des Impulses oder des Hamilton-Operators ist (da die Operatoren für ein freies Teilchen pendeln).

Das Ergebnis einer Einzelmessung kann ein Einzelwert sein, aber bei Größen mit kontinuierlichem Bereich können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass dies der tatsächliche Wert der Größe ist. Bei einer solchen Messung haben wir immer eine Unsicherheit des Ergebnisses, die größer als Null ist. Dies ist in der Praxis unvermeidlich, wir haben keine Mittel, um kontinuierliche Variablen mit unendlicher Genauigkeit zu messen.

Dann würden wir die Wellenfunktion im Prinzip in einen stationären Zustand kollabieren$\Psi_k$aber in diesem Fall wissen wir, dass dies nicht möglich (physikalisch realisierbar) ist.

Dabei kommt es nicht darauf an, ob ein solcher Vorgang physikalisch realisierbar ist; dies hängt von der Interpretation der Theorie ab. Es gibt Interpretationen, die den Kollaps als Ergebnis der Messung überhaupt nicht als physikalischen Vorgang ansehen, unabhängig davon, ob das Ergebnis normierbar ist.

Wichtig ist hier, dass es keine normalisierbare Funktion gibt, die eine Eigenfunktion des Ortsoperators wäre (und es gibt keine, die eine Eigenfunktion des Impulsoperators wäre). Daher können wir unser Verständnis der Theorie nicht auf solche fiktiven Funktionen stützen. Teilchen mit eindeutiger Position oder Impuls ohne Unsicherheit von Null können nicht durch Normalisierung dargestellt werden$\psi$Funktion.

So messen wir einen bestimmten Wert des Impulses mit einer gewissen Messunsicherheit, wobei die Unsicherheit uns die Streuung der Werte der Observablen gibt

Ja, alle Messungen der Position oder des Impulses von Partikeln haben eine endliche Unsicherheit, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der gemessene Wert gleich dem gesuchten tatsächlichen Wert ist, 0. Wenn wir Partikelspuren von der Blasenkammer betrachten, ist die Spur dünn, aber begrenzt breit die Unsicherheit der Teilchenkoordinate auf kleine, aber endliche Entfernung. In der Praxis halte ich am besten Mikrometer.

Oder messen wir nie einen bestimmten Wert, sondern einen Bereich von Werten für eine bestimmte Messung?

Wenn ein Partikel gemessen wird, wird normalerweise ein Wert plus Unsicherheit aufgezeichnet. Wenn viele Partikel gemessen werden, dann werden viele Werte und Unsicherheiten aufgezeichnet. In jedem Fall ist kein Ergebnis jemals absolut genau, es gibt immer eine gewisse Unsicherheit.

$\hat{\cal{P}}(x)=|x\rangle\langle x|$definiert keinen Projektionsoperator, sondern ein sogenanntes projektionswertiges Maß, dh es gibt Projektionsoperatoren für einige Regionen$a<x<b$:

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}=\int\limits_a^b dx \hat{\cal{P}}(x)=\int\limits_a^b dx |x\rangle\langle x|$$ Einwirken auf $|\psi\rangle$es gibt einen normalisierbaren Zustand.

Dies spiegelt wider, dass wir nicht über die Wahrscheinlichkeit der Wertmessung sprechen können$x$sondern nur Wahrscheinlichkeitsdichte$p(x)$und Wahrscheinlichkeit von$x$in der Region sein$a<x<b$:

$$P(a<x<b)=\int\limits_a^b dx\,p(x)$$ diese werden gegeben von, $$p(x)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}(x)|\psi\rangle=\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=|\psi(x)|^2$$ $$P(a,b)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx|\psi(x)|^2$$

Nach der Messung, die gibt$a<x<b$der Zustand wird normalisierbar$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle$oder über die Sprache der Wellenfunktionen,

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}\psi(x)=\cases{0,&x<a\\\psi(x),&a<x<b\\0,&x>b}$$

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UPDATE: Ich denke, es ist nützlich, ein wenig über die Natur des Zusammenbruchs zu sprechen. Wenn Sie den "Zusammenbruch" als eine Art objektive Veränderung des Zustands behandeln möchten, werden Sie in alle möglichen unangenehmen Probleme geraten. Der "Zusammenbruch" der Wellenfunktion erscheint, wenn wir die bedingte Wahrscheinlichkeit einer Messung des Anfangszustands bei einer vorangegangenen Messung betrachten. Es kommt vor (für ideale projektive Messungen), dass wir diese Wahrscheinlichkeit als Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Messung des kollabierten Zustands erhalten können,

$$P_\psi\Big(B(t_2)=\beta|A(t_1)=\alpha\Big)=\frac{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha,B(t_2)=\beta\Big)}{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha\Big)}=P_\chi\Big(B(t_2)=\beta\Big)$$ $$|\chi\rangle=\frac{\hat{\cal{P}}_{A(t_2)=\alpha}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{A(t_1)=\alpha}|\psi\rangle}}$$ Für die projektive Messung der kontinuierlichen Variablen können Sie immer noch bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten finden, aber diese "Kollaps" -Idee ist nicht sehr nützlich. Es gibt drei Möglichkeiten, es dennoch anzuwenden, bei denen Sie alle über eine gewisse Fehlerspanne sprechen müssen.

1. Bleiben Sie im Bereich der idealisierten Messung und beschränken Sie sich nur auf die Diskussion der Bedingungen$a<x<b$(siehe oben)

2. Diskretisieren Sie die Variable, die mathematisch gut sein kann, aber den tatsächlichen Messungen nicht sehr nahe kommt

3. Realistisch gesehen sind Ihre Messungen nicht ideal und weisen einige grundlegende Ungenauigkeiten auf. Das bedeutet jedoch, dass unterschiedliche Ergebnisse für Werte von$x$schließen sich nicht gegenseitig aus. Das bedeutet, dass Sie Ihre Messung nicht mehr idealisiert beschreiben$x$mit seinen orthogonalen Projektoren, sondern verwenden Sie stattdessen ein POVM, das von dem von Ihnen verwendeten Messgerät abhängt. Dann können Sie die Zusammenbruchsidee auf den Singularwert von anwenden$x$aber das ist nicht mehr$\hat{x}$im Sinne des Lehrbuchs.

Wie ich schon sagte, Sie können perfekt leben, ohne sich auf all das einzulassen, wenn Sie nur die richtigen Fragen stellen. Denken Sie weniger an „Kollaps“ und mehr daran, was Sie im Experiment messen.