Messung des Zusammenbruchs der Wellenfunktion

Diese Antwort hängt von der Zeitskala Ihres Systems ab. Oft kann das Problem wie folgt umformuliert werden. Beginnen Sie mit einem Zustand a$\vert\psi_0(0)\rangle$, die sich unter einem Hamiltonian entwickelt$\hat H$so dass$U(t)$ist die daraus resultierende Evolution, kann man um was für eine kleine Zeit bitten$\Delta t$wird die Wahrscheinlichkeit sein, das System darin zu finden$\vert\psi_0(0)\rangle$größer sein als$1-\epsilon$, Wo$\epsilon$wird klein angenommen und wird davon abhängen$\Delta t$. Mit anderen Worten, man fragt nach was$\Delta t$Ist

$$\vert \langle \psi_0(\Delta t)\vert \psi_0(0)\rangle \vert^2<1-\epsilon. \tag{1}$$ mit $\vert\psi_0(t)\rangle =U(t)\vert\psi_0(0)\rangle$.

Dies definiert "schnell" in dem Sinne, dass Sie innerhalb des Zeitintervalls erneut messen$\Delta t$, gibt es nur eine kleine Wahrscheinlichkeit$\epsilon$dass sich Ihr System aus Ihrem Anfangszustand entwickelt haben wird. Angesichts Ihrer Toleranz$\epsilon$da findest du das passende$\Delta t$innerhalb dieser Toleranz zu bleiben.

Vorausgesetzt$\hat H$hängt nicht explizit von ab$t$der Einfachheit halber$U(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}$und für kleine zeiten kann man meist schreiben

$$\begin{align} \vert\psi_0(\Delta t)\rangle &\approx \left(\hat 1-i\frac{\Delta t}{\hbar} \hat H -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2}\hat H^2 \right) \vert\psi_0(0)\rangle\\ \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle&= 1 -i\frac{\Delta t}{\hbar} \langle \psi_0(0)\vert \hat H\vert \psi_0(0)\rangle -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2} \langle\psi_0(0)\vert H^2\vert\psi_0(0)\rangle \end{align}$$ von wo aus Sie die Berechnung abschließen können $$\vert \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle \vert^2\le 1-\epsilon$$ und finde $\epsilon$bezüglich $\Delta t$und die Matrixelemente von $\hat H$.

So zum Beispiel (mit$\hbar=1$), nehmen wir an, wir nehmen

$$\hat H=\sigma_x+\sigma_z=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right)$$ und vermute $\vert\psi_0(0)\rangle=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$. Dann $$U(\Delta t)= \left( \begin{array}{cc} \cos \left(\sqrt{2} \Delta t\right) -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t \right)}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & \cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)+\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$$ Und $$\langle \psi_0(0)\vert U(\Delta t) \vert\psi_0(0)\rangle =\cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)-\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}}$$ so dass man beim Erweitern findet $$\vert\langle\psi_0(0)\vert U(\Delta t)\vert\psi_0(0)\rangle\vert^2 \approx 1-(\Delta t)^2$$ so dass in diesem Fall "schnell" bedeutet $(\Delta t)^2<\epsilon$.