Verwirrung über die Trennbarkeit von Wellenfunktionen

1) "In welchen Situationen ist es in Ordnung, die komplette Wellenfunktion so zu trennen?"

Als einfaches Produkt nur für unterscheidbare nicht wechselwirkende Partikel. Wenn Sie Antisymmetrie hinzufügen, wie Ruslan feststellt, erhalten Sie eine Slater-Determinanten-Wellenfunktion, die für nicht unterscheidbare, nicht wechselwirkende Fermionen exakt ist. Da Elektronen über den Coulomb-Operator wechselwirken, ist dies für Vielelektronen-Wellenfunktionen tatsächlich nie exakt, wie Dan erwähnt. Die einfache Produktwellenfunktion wurde zuerst von Douglas Hartree verwendet; Vladimir Fock fügte Antisymmetrie hinzu, was zur Hartree-Fock-Methode führte (und ich denke, der Professor in Ihrer Klasse führt Sie in diese Richtung).

Jetzt sagen Sie, dass Sie das in einem Chemieingenieurstudium gehört haben, und Hartree-Fock ist immer noch sehr nützlich in der Chemie. Aber wie Sie bemerken, ignoriert diese Wellenfunktion die Verschränkung vollständig. Warum die Produktwellenfunktion trotz dieses Mankos noch sinnvoll ist, versuche ich an einem Beispiel aus der Chemie zu erklären.

Stellen Sie sich ein Wasserstoffmolekül mit Gleichgewichtsbindungslänge vor. Dies ist eine Zwei-Elektronen-Wellenfunktion und wir können eine Wellenfunktion schreiben, die Verschränkung als betrachtet

$$\begin{equation} | \Psi \rangle = c_1 | \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle + c_2 | \sigma_\alpha^*\sigma_\beta^* \rangle \end{equation}$$ Wo $| \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle$ist die aus den Bindungsorbitalen gebildete Slater-Determinante $\sigma_\alpha$Und $\sigma_\beta$, wohingegen $| \sigma_\alpha^*\sigma_\beta^* \rangle$ist eine Slater-Determinante, die mit den antibindenden Orbitalen hergestellt wird $\sigma_\alpha^*$Und $\sigma_\beta^*$( $\alpha$Und $\beta$stellen natürlich den Spin des Orbitals dar, und ich gehe davon aus, dass Sie mit Molekülorbitalen vertraut sind). Nach dem Variationsprinzip $c_1$Und $c_2$muss die Energie von minimieren $| \Psi \rangle$. Bei Gleichgewichtsbindungslänge ist jedoch die Energie von $| \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle$ist viel niedriger als die von $| \sigma_\alpha^*\sigma_\beta^* \rangle$ergebend $c_1 >> c_2$und daher $| \Psi \rangle \sim | \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle$. Dies ist also ein Fall, in dem Hartree-Fock (dh eine einzelne Slater-Determinante) ein qualitativ korrektes Ergebnis liefern kann. Wenn Sie die Störungstheorie hinzufügen $| \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle$erhalten Sie sehr genaue (quantitative) Ergebnisse.

Hartree-Fock kann jedoch in einigen Fällen schrecklich versagen. Nehmen wir nun an, wir trennen die Atome, aus denen das Wasserstoffmolekül besteht, in einem so großen Abstand, dass ihre Atomorbitale nicht mehr wechselwirken. An dieser Stelle,$| \sigma_\alpha\sigma_\beta \rangle$Und$| \sigma_\alpha^*\sigma_\beta^* \rangle$entarten und$c_1 = c_2$. In diesem Fall haben wir also eine multideterminante Wellenfunktion, die von Hartree-Fock nicht beschrieben werden kann. Tatsächlich ist in diesem Fall die Hartree-Fock-Energie unphysikalisch und viel größer als die von zwei Wasserstoffatomen.

Die Lehre aus diesem Beispiel ist, dass (antisymmetrisierte) Produktwellenfunktionen in Fällen nützlich sind, in denen die Verschränkung klein ist, aber schrecklich versagen, wenn die Verschränkung stark ist. Im Allgemeinen tritt dieser Fehler in der Chemie auf, wenn man entartete oder nahezu entartete Orbitale hat, was hauptsächlich in Molekülen bei Dissoziation, Übergangsmetallen und Singulett-Diradikalen auftritt. Einfache Arten mit geschlossener Schale aus den ersten beiden Zeilen des Periodensystems können jedoch häufig gut durch antisymmetrisierte Produktwellenfunktionen (einzelne Slater-Determinanten) beschrieben werden.

2) "Woher wissen Sie, dass ein isoliertes Elektron in einem Experiment nicht von den restlichen Teilchen im Universum beeinflusst wird?"

Das Elektron interagiert mit den übrigen Teilchen im Universum, aber die Wechselwirkung ist vernachlässigbar. Denken Sie daran, dass diese Wechselwirkung durch den Coulomb-Operator erfolgen muss$1/|r_1 - r_2|$(in atomaren Einheiten) und normalerweise$|r_1 - r_2|$wird groß genug sein, damit wir Wechselwirkungen von (sagen wir) einem Molekül in der Gasphase mit dem Rest des Universums ignorieren können (wir können Wechselwirkungen eines Moleküls mit einem Lösungsmittel beim Umgang mit Lösungen jedoch nicht ignorieren, aber es gibt ungefähre Methoden für den Umgang mit diesen).

In den meisten Fällen vertreten$\Psi=\prod_i\psi_i$ist eine Näherung, die nur für nicht wechselwirkende Teilchen exakt erscheint .

Dies ist jedoch eine funktionierende Näherung (Hartree-Fock-Methode, wenn wir Symmetrisierung hinzufügen) in vielen Anwendungen der Quantenphysik, zB der Physik der kondensierten Materie. Dennoch ist eine exakte Wellenfunktion fast nie in einzelne Teilchenzustände trennbar.

Damit haben Sie Recht. Fermionische Wellenfunktionen können beispielsweise nicht exakt durch Produktzustände dargestellt werden. Die meisten Zustände können nicht als einzelnes Produkt von Ein-Elektronen-Wellenfunktionen oder sogar als einzelne Slater-Determinante ausgedrückt werden.

Es ist jedoch nützlich, sich allgemeine verschränkte Zustände als Summen von Produktzuständen vorzustellen.