Hat |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2 überhaupt eine Bedeutung?

Ich dachte immer$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$hatte die Bedeutung einer gewissen Wahrscheinlichkeit, dass der Impuls des Teilchens vorhanden ist$p$(innerhalb eines Toleranzintervalls$\Delta p$). Jetzt bin ich nur verwirrt.

$\rho(p)=\lvert\langle p|\psi\rangle\rvert^2$ist nur eine andere Notation für$\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2$Wo

$$\tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \psi(q)e^{-i\frac{pq}{\hbar}}dq.$$

Es wird angenommen (und mathematisch funktioniert es gut), dass es genauso ist$\int_{q_1}^{q_2}|\psi(q)|^2dq$gibt Wahrscheinlichkeit, dass$q\in(q_1,q_2)$,

$$\int_{p_1}^{p_2}\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2dp$$

gibt Wahrscheinlichkeit, dass$p\in(p_1,p_2)$-

Es fällt mir jedoch schwer zu glauben, dass die Geschwindigkeitsverteilung dieser beiden Fälle genau gleich ist.

Nehmen Sie es ist ein Rezept, um die Verteilung der Geschwindigkeiten so gut wie möglich zu berechnen. Es spiegelt nicht unbedingt die tatsächlichen Geschwindigkeiten wider.

In der klassischen Grenze (große Anzahl von Knoten in einem gewissen Raum$DX$), sollte man von einer Geschwindigkeitsverteilung in der Nähe einer Position sprechen können$x$. Es sollte so etwas wie sein$0.5\delta(v-v_c)+0.5\delta(v+v_c)$Wo$v_c=\sqrt{2T/m}$. Wie lässt sich diese Verteilung mit irgendeiner Bedeutung vergleichen, die wir aus der positionslosen Verteilung ableiten können?$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$?

Wenn Sie haben$q$-abhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung für$p$, können Sie immer eine marginale Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen$p$(ohne Berücksichtigung des Wertes von$q$) als

$$\mu(p) = \int_{-\infty}^{\infty} \rho_q(p) dq$$ und vergleiche es mit $\rho(p)$. Wenn $\mu(p)$Und $\rho(p)$nicht einverstanden sind, können Sie sich dann überlegen, woran das liegt und welche Sie als bessere Beschreibung bevorzugen.

Was uns daran hindert, über die Wahrscheinlichkeit zu sprechen, ein Teilchen mit Impuls zu finden$\mathbf p$an Stelle$\mathbf x$in der Quantenmechanik? Es ist natürlich die Nichtkommutativität von$\hat x$Und$\hat p$, oder physikalischer ausgedrückt, die Heisenbergsche Unschärferelation

$$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.$$ Aus diesem Grund ist die von Void erwähnte Wigner-Funktion keine echte nicht-negative Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aber versuchen wir, die Wirkung des Heisenbergschen Prinzips zu minimieren. Erinnere dich daran

$$I = \int \phi(x)^*\psi(x) \, dx$$ ist ein Maß für die Überlappung der Zustände $\phi$Und $\psi$. Insbesondere die Wahrscheinlichkeit, den Zustand zu finden $\phi$Ist $P = |I|^2$. Betrachten Sie nun den folgenden Zustand $$\phi(x; p,x') = C_1\exp\big[ -C_2(x-x')^2 + ipx]$$ Wo $C_1$Und $C_2$sind einige unwichtige Normalisierungskonstanten. Es ist nicht allzu schwer zu zeigen, dass die Erwartungswerte von $\hat x$Und $\hat p$in diesem Zustand sind $x'$Und $p$. Außerdem für diesen Zustand $\Delta x \Delta p = \hbar/2$, was bedeutet , dass die Unsicherheit minimal ist . Definieren Sie also die Husimi-Funktion $$Q(x',p) = \left | \int \phi(x; x', p)^* \psi(x) \, dx\right|^2$$ was dann die Wahrscheinlichkeit angibt, einen Zustand minimaler Unsicherheit mit Impuls zu finden $p$bei $x$.

Die Husimi-Funktion kann mit der Wigner-Funktion in Beziehung stehen und umgekehrt und kann verwendet werden, um alles zu berechnen, wofür die Wigner-Funktion verwendet werden kann.

Interpretieren des Wahrscheinlichkeitsstroms$\vec{j}$als tatsächlicher Strom, der eine Art Bohmsche Geschwindigkeit eines Flüssigkeitsstroms (statistisches Ensemble) bestimmt, nicht mit der üblichen Interpretation der Quantenmechanik, vor allem nicht mit dem Superpositionsprinzip vermischt werden kann.

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Wir nehmen eine Wellenfunktion$\sim e^{-ikx}$, würde diese Wellenfunktion ein strömendes Geschwindigkeitsensemble darstellen$k$im Böhmischen Bild ($\hbar=m=1$). Überlagern wir es nun mit einem Ensemble von Geschwindigkeiten$-k$, dh$\sim e^{ikx}$, so dass wir gegenläufige Teilchen erhalten. Das bedeutet, dass wir aus der Bohmschen Sicht zwei gegenläufige Ensembles erhalten, die eine Geschwindigkeit von Null und eine flache räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben, richtig? Nicht ganz. Unsere resultierende Wellenfunktion ist

$$\psi_{\pm k} \sim \cos(kx)$$ mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung $\sim 1+cos(2kx)$. Die Bohmschen Trajektorien strömen plötzlich nicht mehr friedlich, sondern sind zwischen den Knoten eingefroren $\cos(kx)$. Das ist ein ganz anderes Bild als eine naive Bohmsche Interpretation! Es gibt keine Möglichkeit, dass die Partikel durch die Knoten mit einer Partikelwahrscheinlichkeit von null strömen, also können wir nur sagen, dass Partikel irgendwie zwischen den Knoten von oszillieren $\cos(kx)$.

Wie auch immer, Sie können sehen, dass das Kombinieren des Konzepts von an$e^{-ikx}$Streaming-Ensemble mit Überlagerung gibt nichts zufriedenstellend. Superposition und eine "bequeme" Interpretation der Wellenfunktion passen einfach nicht zusammen. "Beables" sind nicht-linear und jede "linear" gestellte Frage wird keine gute Antwort liefern.

Nehmen$\langle p|\psi \rangle$mit einer Bohmian-ähnlichen Denkweise ist wie die Frage: "Wie viel von einer Uniform$p$-stream ($\sim e^{-ipx}$) ist in diesem Ensemble linear vorhanden$\psi$?" und Sie erhalten eine mathematische Antwort, die im Sinne der nichtlinearen Physik, die Sie für wahr halten, keine gute Bedeutung hat. Sie erhalten nur eine nützliche Fourier-Transformation dieser eigentümlichen Funktion$\psi$Ihrer Theorie.

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Es gibt eine "Quasi-Wahrscheinlichkeits"-Funktion im Phasenraum, die ich ziemlich gut finde, die Wigner-Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(p,x)$. Es hat alle netten Eigenschaften, die Sie von einer solchen Distribution erwarten würden, wie z$\int P(p,x) dp = \rho(p), \int P(p,x) dx = \rho(x)$. Es ist wirklich toll, aber... es ist nicht eindeutig. Trotzdem wird es manchmal im klassischen Limit verwendet.

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Die Wahrheit ist, dass der Quantenzustand nicht in Bezug auf klassische Objekte interpretiert werden kann, sondern mit seinen eigenen Begriffen verstanden werden sollte.

Das wahre klassische Gegenstück zum Quantenzustand ist die scharfe Position und der Impuls des Teilchens, denn der Quantenzustand ist der Grundbaustein Ihrer Theorie, die schärfste, die Sie bekommen können, die vollständige Charakterisierung des Systems und seiner Entwicklung. Und die Interpretation und Konvergenz zur klassischen Grenze sollte nur durch Überprüfung der Übereinstimmung zwischen erfolgen$x \to \langle \hat{X}\rangle, \langle (\hat{X})^2\rangle - (\langle \hat{X}\rangle)^2 \to 0$usw.

Das quantenmechanische Gegenstück zu einer klassischen Verteilung ist dagegen der Dichteoperator . In der klassischen Mechanik haben Sie eine Verteilung über die scharfen Objekte Ihrer Theorie, den Ort und die Impulse. Auch in der Quantentheorie besteht der einzige Unterschied darin, dass man eine Verteilung über quantenscharfe Objekte hat, die Zustände. Wenn Zustände zu scharfen Positionen und Impulsen konvergieren, konvergiert auch Ihr Dichteoperator zu einer klassischen Wahrscheinlichkeitsdichte.

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Bin ich verflucht oder brauche ich zu lange, um eine Antwort zu vervollständigen, sodass in der Zwischenzeit eine andere angenommen wird? Wie auch immer, genießen Sie einen alternativen Aussichtspunkt.

Die Zeitentwicklung kann analysiert werden, indem der Zeitentwicklungsoperator angewendet wird, d. h

$$\hat U=e^{i\hat Ht}$$

Seit dem Ergebnis von$\hat H\left|\psi\right>$In den beiden von Ihnen angegebenen Fällen unterschiedlich ist (der Hamiltonian, der die Probleme beschreibt, ist unterschiedlich), entwickeln sich die Zustände unterschiedlich. Der Erwartungswert für das Momentum wird diese Situation widerspiegeln, dh

$$\left<\hat p(t)\right>=\left<\psi(t)\right|\hat p\left|\psi(t)\right>$$

wird in den beiden Fällen unterschiedliche Abhängigkeiten haben und so wird sich die Verteilung der Impulse als Erwartungswert ändern$\left<\hat p(t)\right>$Änderungen.