Warum gibt uns das Betragsquadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte? [Duplikat]

Meine Frage geht nicht viel über den Titel hinaus: Warum

| ψ ( X , T ) | 2
Geben Sie uns die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass etwas an einem bestimmten Ort erscheint? ich verstehe das
| ψ ( X , T ) | 2 = ψ ( X , T ) ∗ ψ ( X , T )
Wo ψ ( X , T ) ∗ ist das komplexe Konjugierte, aber ich verstehe immer noch nicht, wie die Multiplikation dieser beiden Varianten der Wellengleichung uns eine Wahrscheinlichkeit für einen Ort gibt.

mögliches Duplikat von Borns Regel, was ist der Grund?
Es ist buchstäblich, weil das die Wellenfunktion bedeutet . Fragen Sie sich: "Warum gibt uns das elektrische Feld die Kraft pro Ladungseinheit auf einem Objekt?". Die Antwort ist, dass wir beobachten, dass geladene Objekte in manchen Situationen eine Kraft erfahren, die proportional zu ihrer Ladung ist, also haben wir ein „elektrisches Feld“ erfunden, um dies zu erklären.
@DanielSank, das elektrische Feld wurde ursprünglich als Kraft pro Ladungseinheit eingeführt; dann ist es trivial, dass das Produkt aus Kraft und Ladung Kraft ergibt. Allerdings die Funktion ψ ( X ) hat keine solche Einführung. Es ist ein rein mathematisches Konzept, das durch die Schrödinger-Gleichung und Randbedingungen definiert ist. An seiner Definition ist keine Wahrscheinlichkeit beteiligt. Die Frage, „warum das Integral der Größe zum Quadrat eine Wahrscheinlichkeit ergibt“, ist dann sehr nicht trivial.
@JánLalinský Dies führt uns zu einer Diskussion über die wissenschaftliche Methode und allgemeinere Vorstellungen darüber, was es bedeutet, Wissenschaft zu betreiben. Wir sollten diese Diskussion nicht in den Kommentaren führen. Ich werde mein Chat-Fenster heute offen lassen, falls Sie diskutieren möchten.

Antworten (2)

Als Sonderfall der Bornschen Regel besagt, dass ein Zustand gegeben ist | χ ⟩ , die Wahrscheinlichkeit, es in einem Zustand zu finden | ψ ⟩ ist gegeben durch (für normalisierte Zustände) | ⟨ χ | ψ ⟩ | 2 , es ist ein Axiom in den Standardformulierungen der Quantenmechanik, dass

| ψ ( X ) | 2 = | ⟨ X | ψ ⟩ | 2
ist die Wahrscheinlichkeit (Dichte), das Objekt zu finden X .

Die Regel, die Sie als Axiom deklariert haben, ist kein Sonderfall der Regel, die einen gegebenen Zustand angibt \ket χ , die Wahrscheinlichkeit, es in einem Zustand zu finden \ket ψ ist gegeben durch (für normalisierte Zustände) | \BH χ ψ ⟩ | 2 . Die beiden sind getrennte Regeln, da die erstere die Wahrscheinlichkeit als Quadrat eines Quadrats angibt, während die letztere die Wahrscheinlichkeit als Quadrat eines Integrals angibt. Leider werden sie beide als Born-Regel bezeichnet.

Es stammt aus dem mathematischen Rahmen der Quantenmechanik. Ein allgemeiner Erwartungswert ist das Ergebnis der Zustandsberechnung ω über einige beobachtbare A . Mathematisch gesehen A ist ein selbstadjungierter Operator aus der C*-Algebra A von Observablen u ω ist ein Zustand vorbei A , dh ein normalisiertes positives lineares Funktional an A . Nach dem Satz von Riesz-Markov gibt es eine regelmäßige Wahrscheinlichkeit (was im Moment bedeutet, dass es Maß 1 auf dem gesamten Spektrum von gibt A ) messen μ ω getragen durch das Spektrum von A so dass

ω ( A ) = ∫ σ ( A ) λ   D μ ω ( λ ) .
Die probabilistische Interpretation ergibt sich aus der Tatsache, dass für jede Teilmenge U ⊂ σ ( A ) , die Nummer
∫ U D μ ω ( A )
kann dann als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, das Ergebnis eines Maßes zu finden A auf den Staat ω im Wertebereich von U (Denken Sie daran, dass ein selbstadjungierter Operator ein Spektrum enthält in R ).

Wenn die Darstellung der kanonischen Kommutierungsbeziehung die von Schrödinger ist (die bis auf Isomorphie die einzige ist), stehen die Zustände in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit dem projektiven Hilbert-Raum P L 2 ( R ) (Ich gehe der Einfachheit halber von nur einem Freiheitsgrad aus). Da es sich um eine irreduzible Darstellung handelt, entspricht insbesondere jeder zulässige reine Zustand einer (Klasse oder einem Strahl eines) Vektors in L 2 ( R ) , und deshalb

ω ( Q ) = ( ψ ω , Q ψ ω ) = ∫ X | ψ ω ( X ) | 2 D X .
Wenn man diesen Ausdruck mit dem obigen aus dem Satz von Riesz-Markov vergleicht, kann man ihn interpretieren | ψ ω ( X ) | 2 als Wahrscheinlichkeitsdichte über das Spektrum des Positionsoperators Q , dh R für translationsinvariante Systeme.

Kurz gesagt, aus der Formel für den erwarteten Durchschnitt ∫ ψ ∗ A ^ ψ D X und seine Anwendung zu koordinieren X wir leiten diese Wahrscheinlichkeitsdichte ab X Ist | ψ ( X , T ) | 2 . Allerdings stellt sich dann die Frage, warum wird der durchschnittliche Erwartungswert so berechnet, wie er ist?
@JánLalinský Man wird immer auf ein ultimatives „Warum“ stoßen, das nur mit „weil wir die Daten aus den Experimenten anpassen wollen“ beantwortet werden kann. Es ist keine mathematische Theorie, es ist ein mathematisches Modell für das Verhalten der Natur.
@JánLalinský was meinst du? Fragen Sie, warum der Durchschnitt berechnet wird als ∫ λ D μ oder warum hat es in der Quantenmechanik diese Form? Die Antwort auf Ersteres lautet: per Definition; Die Antwort auf Letzteres ist, weil das Skalarprodukt auf einem Hilbert-Raum so definiert ist.
@annav, die Formel für den erwarteten Durchschnitt ist ebenso mysteriös wie die als Born-Regel verwendete Formel. Sicher, nicht alles kann begründet werden, aber es ist nicht offensichtlich, dass die Born-Regel eines dieser Dinge ist.
@ Phoenix87, der Grund, den Sie angegeben haben - die Regel zur Berechnung von Durchschnittswerten - ist nicht ganz zufriedenstellend, da ähnlich wie bei der Born-Regel unklar ist, warum diese Formel besser ist als andere. Es macht keinen Sinn, die Gültigkeit dieser Dinge in der Physik zu erklären, indem man sagt, sie seien Definitionen.
@JánLalinský Natürlich macht es Sinn. Physik ist nicht Mathematik. Es verwendet Mathematik mit zusätzlichen Postulaten mit der Kraft von Axiomen, die die mathematischen Formeln mit physikalisch messbaren Größen verbinden/interpretieren. Eines dieser physikalischen Axiome/Postulate ist die Interpretation der Größen als Wahrscheinlichkeiten zur Messung von Observablen. Ohne eine Version der Born-Regel macht die Quantenmechanik keinen Sinn, verbindet sich nicht mit den Daten. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html
@JánLalinský Das einzige Axiom, das ich bei der Ableitung der ersten Gleichung angenommen habe, lautet: Jedes quantenmechanische System ist einer C * -Algebra zugeordnet, deren selbstadjungierter Teil die Menge aller Observablen und ihres Zustandsraums (oder möglicherweise nur eine Teilmenge davon) ist it) ist die Menge aller physikalischen Zustände. Alles weitere folgt dann aus der Standardtheorie der C*-Algebren (insbesondere deren Darstellungstheorie). Für die letzte Gleichung braucht man nur die kanonischen Vertauschungsbeziehungen hinzuzufügen, die nur eine Möglichkeit sind, das Heisenbergsche Prinzip zu erklären. Es sind keine weiteren Annahmen erforderlich.
@annav, du verfehlst den Punkt. Wenn die Frage lautet „Warum glauben wir, dass der erwartete Durchschnitt durch X gegeben ist“, macht die Antwort „weil es eine Definition des erwarteten Durchschnitts ist“ keinen Sinn, da der erwartete Durchschnitt bereits in der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert ist.
Warum gibt uns das Betragsquadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte? [Duplikat]
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