Warum ist |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 die Wahrscheinlichkeitsdichte?

Ich fange mit Quantenmechanik an und lerne online. Ich kann den Grund dafür nicht finden | Ψ | 2 die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, ein Elektron zu finden. Sie haben es einfach überall als selbstverständlich hingenommen. Ich lerne all diese Mathematik, aber ich bin nicht in der Lage, die intuitive Idee dahinter vollständig zu begreifen. Wenn jemand dies mit vernünftigen Argumenten erklären könnte, wäre ich dankbar.

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/73329/2451 und Links darin.
Es ist eine andere Art von Frage, aber vielleicht kann diese Antwort von mir etwas helfen.
Siehe dieses Papier von Scott Aaronson . Er betrachtet andere Möglichkeiten zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte und zeigt, dass die 2-Norm die einzig physikalisch sinnvolle ist.
@JohnRennie danke, aber dieses Papier geht momentan weit über meinen Horizont hinaus.
@Wouter- Das war eine sehr interessante Antwort, sehr intuitiv. Danke.
Das von @ JohnRennies Kommentar erwähnte Papier enthält eine eingehendere Diskussion meiner unten gegebenen Antwort (von der ich glaube / hoffe, dass sie leichter zu verstehen ist).

Antworten (3)

Kurze Antwort

Der Grund, warum eine physikalische Größe wie Wahrscheinlichkeit gegeben ist durch | Ψ | 2 eher als eine andere Funktion von Ψ Geometrie ist, nämlich der Satz des Pythagoras. Wenn Sie einen Vektor haben, der vom Ursprung zum ( X ^ , j ^ , z ^ ) Koordinaten ( X , j , z ) , dann die Länge ℓ wird von gegeben ℓ 2 = X 2 + j 2 + z 2 .

Warum ist das die Definition von Länge? Wenn Sie Ihre Koordinaten drehen oder den Vektor an eine andere Stelle verschieben, sollte sich das, was wir die Länge nennen, nicht ändern. So ℓ heißt die Länge, weil die Form von ℓ (die Summe der Quadrate) ist die einzige Größe, die konstant ist, selbst wenn Sie den Vektor drehen oder verschieben (oder Ihre Koordinaten verschieben oder drehen).

Längere Antwort

Die Quantenmechanik ist linear, was bedeutet, dass Sie 2 (oder mehr) sich gegenseitig ausschließende Zustände / Ergebnisse haben, die wir symbolisch mit der Dirac-Notation als schreiben | A ⟩ Und | B ⟩ , dann ist jede lineare Kombination auch ein gültiger Zustand, dh

| ψ ⟩ = ψ A | A ⟩ + ψ B | B ⟩ ,
Wo ψ A Und ψ B sind Zahlen. Aber aufgrund dieser Linearität können wir auch darstellen | ψ ⟩ auf einer anderen Grundlage als | A ⟩ Und | B ⟩ , aber die "Länge" von ψ sollte sich nicht ändern. Die einzige funktionale Form für die "Länge" “ ψ “ , die sich nicht ändert, wenn wir unsere Basisfunktionen/Zustände ändern (oder "rotieren"), ist die Summe der Quadrate, genau wie im Fall der geometrischen Länge eines Vektors, dh
“ ψ “ 2 ∝ | ψ A | 2 + | ψ B | 2 + ⋯ .

Wenn Sie jetzt sagen, dass ein Zustand auf 1 normalisiert werden sollte (dh “ ψ “ 2 = 1 ), dann haben Sie jetzt eine Gruppe positiver Begriffe, die sich zu einem summieren, egal wie Sie Ihren Zustand beschreiben. Beachten Sie, dass ψ A 2 + ψ B 2 + ⋯ oder ψ A 2 + ψ B 2 + ⋯ ist invariant (gleich 1), aber ψ A 2 + ψ B 2 + ⋯ (oder jede andere Form) nicht. Außerdem Begriffe wie ψ A ≡ ⟨ A | ψ ⟩ sind ein Maß dafür, wie nah der Zustand ist | ψ ⟩ ist für den Staat | A ⟩ also die Wahrscheinlichkeit, dass | ψ ⟩ wird im Zustand gemessen | A ⟩ sollte eine Funktion von sein ψ A . Kombinieren Sie diese 2 Tatsachen ergibt | ψ A | 2 als einzig mögliche Form für diese Wahrscheinlichkeit.

+1 Obwohl dies wahrscheinlich eine bessere Antwort ist, akzeptiere ich sie nicht, weil ich nicht sicher bin, ob ich sie vollständig verstehe (an Ihrer Erklärung ist nichts falsch, ich habe gerade mit QM begonnen, daher ist es schwierig, die Intuition dahinter zu bekommen). Danke für die Hilfe!
Aber warum sollten die Wahrscheinlichkeiten unter Drehungen unveränderlich sein?
Ein Strahl im Hilbert-Raum bedeutet nur, dass das Teilchen existiert. Oder anders ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse sollten sich zu eins summieren. Eine Drehung kann eine aktive Transformation darstellen (der Quantenzustand ändert sich) oder eine passive Transformation (Sie ändern einfach die Darstellungs- oder Messbasis). In jedem Fall sollten die Wahrscheinlichkeiten immer noch eins ergeben.

Betrachten wir das berühmte Doppelspaltexperiment mit Photonen. Bei der üblichen Anordnung bezeichnen wir die Anzahl der vorbeilaufenden Photonen N und wir bezeichnen die Anzahl der Photonen, die dazwischen auf den Film treffen j Und j + Δ j von N ( j ) . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon zwischen detektiert wird j Und j + Δ j zu einer Zeit T wird gegeben von:

P j ( j , T ) ≡ lim N → ∞ ( N ( j ) N )
Betrachtet man dies aus klassischer elektromagnetischer Sicht, dann ist die obige Größe als Intensität bekannt ICH der elektromagnetischen Welle, die bekanntermaßen proportional ist zu:
ICH ( j , T ) ∝ | ψ ( j , T ) | 2 Δ j
Wo ψ bezeichnen die Wellenfunktion der elektromagnetischen Welle. (Beachten Sie, dass diese Gleichung aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Aus den beiden obigen Gleichungen ist leicht ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben ist durch:
P ( j , T ) ∝ | ψ ( j , T ) | 2
Eine ausführlichere Diskussion findet sich auf den Seiten 18 bis 24 dieser Erläuterungen .

Ich habe nach einer intuitiveren Antwort gesucht, aber ich denke, das ist die, die von allen am sinnvollsten ist. Vielen Dank!
@ParthVader kein Problem. Seien Sie auch gewarnt: Die Quantenmechanik im Allgemeinen ist dafür bekannt, kontraintuitiv zu sein.
Wie wird dieser Ausdruck für die Intensität aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet? Vielleicht würde dieses Argument besser funktionieren, wenn es um Elektroneninterferenz ginge. Das würde vermeiden, E&M mit Quantenmechanik zu vermischen, und die Diskussion glätten.
@garyp Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Ich habe mich bewusst für die Photoneninterferenz entschieden, damit wir E&M mit QM mischen. Daraus lässt sich der bekannte Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte postulieren, der sich dann aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus auf andere Teilchen (z. B. Elektronen) überträgt. Dies gibt dem OP die Logik hinter der Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte. Letztendlich gilt das natürlich, weil Experimente gezeigt haben, dass dies stimmt.
@Hunter Sicher, ich verstehe deinen Standpunkt vollkommen. Mein kleiner Haken ist, dass man die klassische Wellengleichung als quantenmechanische Wellenfunktion für das Photon nehmen muss. Das ist vertretbar, aber ich denke, es rückt die Diskussion in den Bereich der Quantenfeldtheorie, die meiner Meinung nach komplexer ist als hier benötigt wird.
@garyp Ich glaube nicht, dass dies überhaupt eine Quantenfeldtheorie ist. In ähnlicher Weise können wir die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung verwenden, um ein Elektron zu beschreiben, das mit den elektromagnetischen Potentialen interagiert (siehe diese Antwort ). Wie wir uns beide einig sind, ist die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Postulat, das (wie Sie sagen) gerechtfertigt ist, "weil es funktioniert". Aber diese Postulate werden nicht aus einem Zauberhut gezogen. Ebenso lässt sich die Schrödinger-Gleichung nicht erst ableiten
Prinzipien, aber das bedeutet nicht, dass jemand es einfach zufällig aufgeschrieben hat und es "zufällig funktioniert". Es gibt ein logisches Verfahren, das es uns erlaubt, diese Formeln zu postulieren.
hey jetzt im ersten teil hab ich nicht verstanden das N gegen unendlich geht und wie das die intensität ist könntest du bitte erklären
Ich habe noch nie gesehen, dass Intensität so geschrieben wurde. Könnten Sie mir bitte einen Link schicken?

Ich denke, die Antwort ist "weil es funktioniert". Schon früh in der Entwicklung von QM wurde diese Interpretation der Wellenfunktion gegeben, und im Laufe der Jahrzehnte hat sie sich als nützliche Interpretation erwiesen. Es klappt. Hinzu kommt die Tatsache, dass es möglich ist, einen zugehörigen Strom zu definieren, und dass es einen quantenmechanischen Ausdruck gibt, der dies garantiert | Ψ | 2 erhalten bleibt, wenn dieser Strom berücksichtigt wird, unterstützt die Interpretation.

Wollen Sie damit sagen, dass "Wahrscheinlichkeitsdichte" nur eine Interpretation von ist | Ψ | 2 ? Könnte man auch anders interpretieren?
Ja, aber die Alternativen sind nicht so intuitiv befriedigend. Bestimmte Merkmale der Interpretation haben viele Menschen beunruhigt. Am bemerkenswertesten ist die Vorstellung, dass die Wellenfunktion bei der Messung auf einen genau definierten Wert "kollabiert". Wie kann das sein, wenn | Ψ | 2 stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte dar, das Teilchen zu finden? Die Argumente und Alternativen sind meiner Meinung nach schwer zu verstehen. Sicher, die meisten Menschen schenken ihnen wenig Aufmerksamkeit und überlassen die Probleme Spezialisten und Philosophen. Eine Alternative ist zu geben Ψ gar keine Bedeutung, nur Erwartungswerten Bedeutung beimessen.
Das sollte ich während des QM-Studiums auch tun, denke ich, haha.
Warum ist |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 die Wahrscheinlichkeitsdichte?
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