Gibt es in der Quantenmechanik einen Operator hinter der Wahrscheinlichkeit?

Die Theorie der Quantenmechanik wurde entwickelt, um Beobachtungen, dh Messungen, zu erklären. Ohne Beobachtungen ist es ein schwebendes mathematisches Konstrukt.

Eines der Postulate, um die Mathematik mit der Realität zu verbinden, lautet:

Jeder Observablen entspricht ein Operator, der auf der Zustandsfunktion einen Eigenwert ergibt. Die Frage lautet also: Ist Wahrscheinlichkeit eine Observable? und dann wird es: was ist ein Observable.

Eine Observable im Rahmen der Quantenmechanik ist eine Variable des betrachteten Systems, die durch eine Messung ausgewertet werden kann. Die Energie eines einzelnen Photons. Der Impuls eines Protons. Der Spin eines Elektrons. Wir können diese Variablen immer an einzelnen Teilchen mit einer Beobachtung, Messung, messen. Dies ist mit Wahrscheinlichkeit nicht möglich. Er ist ein aus einer Vielzahl von Messungen mit gleichen Randbedingungen hervorgegangener Wert: Er ist eine normierte, von 0 bis 1 variierende Verteilung der Streuung der in den Messungen gefundenen Werte.

Also nein, es gibt keinen quantenmechanischen Operator für die Wahrscheinlichkeit, da es sich nicht um eine Observable einer Variablen handelt, die in das quantenmechanische Problem eingeht, sondern eine sich aus vielen Messungen ergebende Größe.

Die Antwort ist aus zwei verschiedenen Gründen negativ.

(1) In QM bedeutet Operator linearer Operator und die Abbildung$\psi \mapsto |\psi(x)|^2$ist offensichtlich nicht linear.

(2) Wellenfunktionen sind Elemente von$L^2(\mathbb R)$und diese Elemente sind bis zu Nullmaßmengen definiert. Ich meine das, wenn$\psi(x) \neq \psi'(x)$für$x\in E$Wo$E$hat dann Nullmaß$\psi=\psi'$als Elemente von$L^2(\mathbb R)$, dh (ggf$\int |\psi(x)|^2 dx =1$) reine Quantenzustände . Insbesondere jeder Satz des Formulars$\{x_0\}$hat immer Nullmaß. Daher für alle fest$x_0$, die Karte

$$L^2(\mathbb R) \ni \psi \mapsto |\psi(x_0)|^2$$ macht keinen Sinn . Es ist überhaupt nicht definiert als eine Landkarte, die Staaten (if $\int |\psi(x)|^2 dx =1$) mit Zahlen.

Wechselt man zum Dichteoperator-Formalismus ändert sich die Situation. Dichteoperatoren$\rho$sind positive Spurklassenoperatoren mit Spurnorm$\mathrm{tr}\rho =1$. Sie beschreiben nicht nur reine, sondern auch gemischte Zustände und erfüllen die Liouville-von-Neumann-Gleichung

$$\begin{equation*} \partial _{t}\rho (t)=-i[H,\rho (t)]:=-iL\rho (t), \end{equation*}$$ Wo $H$ist der Hamiltonoperator des Systems und $[.,.]$der Kommutator. Die rechte Seite definiert den Liouville-Operator $L$Einwirken auf Elemente der Trace-Klasse. Wenn in Ihrem Fall $\psi (x)\in \mathcal{H}$ist dann quadratisch integrierbar mit Einheitsnorm $$\begin{equation*} \rho =|\psi ><\psi |, \end{equation*}$$ und die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit der Koordinate in zu finden $\mathcal{% M\subset H}$Ist $$\begin{equation*} E_{\mathcal{M}}=\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}}\rho =\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}% }|\psi ><\psi |=\int_{\mathcal{M}}dx|\psi (x)|^{2} \end{equation*}$$ Hier $P_{\mathcal{M}}$ist der durch die charakteristische Funktion definierte Projektor $\chi _{\mathcal{M}}(x)$, $\chi _{\mathcal{M}}(x)=1$für $x\in \mathcal{M}$und 0 sonst. Daher $P_{\mathcal{M}}$ist der Operator, der der Wahrscheinlichkeit im Koordinatenraum zugeordnet ist. Ebenso lassen $\mathcal{N}$eine Menge im Impulsraum sein und $Q_{\mathcal{N}}$sein Projektor definieren durch $\chi _{\mathcal{N}}(p)$. Dann $$\begin{equation*} F_{\mathcal{N}}=\mathrm{tr}Q_{\mathcal{N}}\rho =\int_{\mathcal{N}}dp|\tilde{% \psi}(p)|^{2}, \end{equation*}$$ Wo $\tilde{\psi}(p)$ist die Fourier-Transformation von $\psi (x)$, ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit Impuls darin zu finden $\mathcal{N}$.

Bei abstrakteren Ansätzen wie dem C$^{\ast }$-Algebra-Formalismus werden Zustände als positive lineare Funktionale über der Menge von Observablen definiert. Dichteoperatoren gehören zu dieser Klasse, aber es gibt allgemeinere.

"Wahrscheinlichkeit" an sich ist ein sehr matschiges Konzept und macht für sich genommen nicht wirklich viel Sinn. Wenn Sie jedoch eine Aussage anhängen, wie in "Wahrscheinlichkeit, dass X eintritt", dann können Sie ihr einen Operator zuweisen.

Lassen Sie mich mit einem einfachen Beispiel beginnen, einem einzelnen Teilchen in einer Dimension, wo Sie die Wahrscheinlichkeit seiner Koordinate wollen$x$dazwischen sein$a$Und$b$. Wie Sie wissen, kann dies geschrieben werden als

$$P(x\in[a,b])=\int_a^b|\psi(x)|^2\text dx.$$ Um dies in einen Operatorformalismus zu bringen, drücken Sie die Wellenfunktion als Klammer zwischen den Zuständen aus $|\psi⟩$und einen Positionseigenzustand $|x⟩$, zu bekommen $$P(x\in[a,b])=\int_a^b⟨\psi|x⟩⟨x|\psi⟩\text dx.$$ Schließlich können Sie die 'ausklammern' $\psi$, um das Matrixelement eines Operators zu erhalten: $$P(x\in[a,b])=⟨\psi|\left(\int_a^b|x⟩⟨x|\text dx\right)|\psi⟩=⟨\psi|\hat\Pi_{[a,b]}|\psi⟩.$$

Der Betreiber$\hat\Pi_{[a,b]}$heißt Spektralprojektor des Ortsoperators$\hat x$für den Satz$[a,b]\in \mathbb R$. Es hat die Eigenschaft, dass sein Erwartungswert in einem Zustand ist$|\psi⟩$ist die Wahrscheinlichkeit von$x$dabei sein$[a,b]$in diesem Zustand.

Dies erstreckt sich auf alle gut erzogenen Beobachtbaren$\hat Q$und jede messbare Menge reeller Zahlen$A$. Tatsächlich wird die „Diagonalisierbarkeit“ von selbstadjungierten Operatoren (einschließlich Ort und Impuls!) genau in diesen Begriffen formuliert, wenn sie streng in Form eines Spektralsatzes abgeleitet wird. Wenn$\hat Q$selbstadjungiert ist (was Hermitizität, wie wir sie kennen, aber auch einige zusätzliche Einschränkungen für die Domänen von Operatoren beinhaltet), sind Sie keine garantierten Eigenzustände, sondern eher ein spektrales Maß . Dies ist eine Funktion$\Pi$die Mengen von reellen Zahlen nimmt$A$und gibt die entsprechenden Spektralprojektoren zurück$\Pi(A)$, die die Eigenschaft haben, dass ihre Erwartungswerte die Wahrscheinlichkeit dafür sind$q$ist in$A$:

$$P(q\in A)=⟨\psi|\hat\Pi(A)|\psi⟩.$$

Wenn$\hat Q$Eigenzustände hat, dann sind die Spektralprojektoren die Summe oder das Integral der einzelnen Eigenzustandsprojektoren$|q⟩⟨q|$über dem$q$ist drin$A$. Wenn$Q$Ein kontinuierliches Spektrum hat nämlich der einzelne Projektor$|q⟩⟨q|$allein nicht viel Sinn und müssen integriert werden, um physikalische Vorhersagen zu machen.

Das stimmt mit etwas überein, das V. Moretti bereits erwähnt hat. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ,

$$|\psi(x)|^2=⟨\psi|\left(|x⟩⟨x|\right)|\psi⟩,$$ ist nicht besonders gut definiert, weil $\psi$kann seinen Wert an einzelnen Punkten ändern, ohne den Zustand zu beeinflussen. Dies ist in Ordnung, da Wahrscheinlichkeitsdichten integriert werden, um physikalische Ergebnisse zu erhalten, und diese punktweisen Änderungen das Gesamtintegral nicht beeinflussen.

Allerdings ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, wie aus ihrer Form hervorgeht, zumindest formal auch der Erwartungswert eines Operators, was in diesem Fall der Fall ist

$$|x⟩⟨x|.$$ Aufgrund der oben erwähnten Probleme ist dieser Operator eigentlich nicht so gut definiert, und Sie müssen sehr vorsichtig mit Ihren Zuständen sein (und sich insbesondere auf bestimmte Teile eines manipulierten Hilbert-Raum-Formalismus beschränken), um dies zu erreichen Sinn. Sie können eine etwas stabilere Definition als erhalten $$|x⟩⟨x|=\frac{d}{dx}\hat \Pi_{(-\infty,x]},$$ außer dass Sie sich jetzt Gedanken darüber machen müssen, was es bedeutet, im Operatorbereich zu differenzieren. Die Botschaft zum Mitnehmen ist, dass die formalen Manipulationen, wenn sie richtig gemacht werden, funktionieren, aber wenn Sie sie rigoros machen wollen, wird es sehr schnell sehr chaotisch. Also: Verwenden Sie Ihre körperliche Intuition, welche Mengen sinnvoll sind und welche nicht, beachten Sie die Manipulationsregeln, und Sie sind auf der sicheren Seite.

Nein. Diese krebserregenden Wahrscheinlichkeiten kommen wegen der probabilistischen Interpretation, die auch alle möglichen berühmten Paradoxien mit sich bringt, die QM infizieren. An sich erfordert der Formalismus der Theorie nur die Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Berechnung$\psi(x,t)$- ein Prozess, der völlig deterministisch ist, genau wie das Lösen von etwas, das sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ergibt. (Ich spreche hier von der Lösung der Schrödinger-Gleichung, Heisenbergs Matrizenmechanik gibt identische Antworten.)

Der Formalismus der Theorie und diese Interpretation sind absolut unabhängige Angelegenheiten. Man kann eine andere Interpretation (z. B. Many-Worlds , neben anderen, die Sie im Link erwähnt finden) an denselben Formalismus anhängen, was uns eine andere Möglichkeit geben würde, diese Antworten zu verstehen. Aber an sich gibt es im Formalismus der QM nichts, was Wahrscheinlichkeiten erfordert oder erfordert.

Ihre Antwort lautet also - nein. Die Wahrscheinlichkeit ist nicht das Ergebnis eines Operators, der darauf einwirkt$\psi$.