Wie man Wellenfunktionen in der Quantenmechanik in Mathematik versteht

Ich lese eine Einführung in die Quantenmechanik. Ich verstehe nicht alles, aber ich verstehe, dass die Wellenfunktion einige Wahrscheinlichkeitsaspekte aussagt. In einem Buch zeigen sie ein Beispiel der Wellenfunktion F ( X ) im Ortsraum als komplexe Funktion, so sagten sie die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden F ∗ ( X ) F ( X ) = | F ( X ) | 2 . In einem anderen Buch wird dasselbe Beispiel gezeigt, aber in sogenannter Bra- und Ket-Vektorform. Ich weiß, wenn ich das absolute Quadrat berechne, sollte ich dieselbe Antwort erhalten. Aber ich lerne immer noch die Bra-Ket-Notation, also frage ich mich, ob ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ oder | ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ | 2 Gibt die Wahrscheinlichkeit an? Wenn der letzte die Wahrscheinlichkeit angibt, was ist ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ ? Ist ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ = F ∗ ( X ) ⋅ F ( X ) ?

Antworten (2)

" | F ( X ) ⟩ " bedeutet nichts und ist keine richtige Bra-Ket-Notation. Für das Hin- und Herübersetzen zwischen Wellenfunktion und Bra-Ket-Notation ist hier die Nummer 1, die Sie beachten sollten:

F ( X ) = ⟨ X ∣ F ⟩

Also die Wahrscheinlichkeitsdichte, um das Teilchen zu finden X Ist

| F ( X ) | 2 = | ⟨ X ∣ F ⟩ | 2

Seit ⟨ A ∣ B ⟩ = ⟨ B ∣ A ⟩ ∗ , das kann man auch schreiben

| F ( X ) | 2 = ⟨ F ∣ X ⟩ ⟨ X ∣ F ⟩

Denken Sie daran, dass dies eine Wahrscheinlichkeitsdichte von darstellt X . Was das bedeutet, ist das

∫ D X A ( X ) | F ( X ) | 2 = ⟨ F | { ∫ D X A ( X ) | X ⟩ ⟨ X | } | F ⟩

sollte der Erwartungswert der Funktion A(x) sein. Die Größe in Klammern ist ein Operator:

A ^ = ∫ D X A ( X ) | X ⟩ ⟨ X |

(Bearbeiten: Wie von Trimok hervorgehoben, gilt das Obige nicht für die meisten Operatoren. Es gilt nur für alle Operatoren, die in der x-Basis diagonal sind oder gleichwertig als Funktion des Operators geschrieben werden können X ^ . Dies sind die einzigen Operatoren, für die Erwartungswerte und höhere Momente berechnet werden können | F ( X ) | 2 als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.)

Der Erwartungswert dieses Operators ist

⟨ A ⟩ = ⟨ F | A ^ | F ⟩

Vorsichtig sein. Für einen Betreiber A ^ , die Notation A ( X ) , als Funktion, macht keinen Sinn, außer wenn | X ⟩ ist ein Eigenvektor von A ^ : A ^ | X ⟩ = A ( X ) | X ⟩ . In diesem speziellen Fall A ( X ) ist der Eigenwert des Operators A ^ entsprechend dem Eigenvektor | X ⟩ . Aber generell macht das keinen Sinn. Zum Beispiel mit dem Impulsoperator P ^ , eine Notation " P ( X ) „Wäre Quatsch, denn | X ⟩ ist kein Einvektor für P ^ .
Ich wollte aus dem konkreten Fall des Denkens verallgemeinern | F ( X ) | 2 als Wahrscheinlichkeitsdichte, bei der nur Operatoren diagonal nach innen stehen X Sinn machen, für den allgemeinen Fall, den Erwartungswert eines beliebigen Operators zu finden. Ich wollte nicht implizieren, dass jeder Operator in der x-Basis diagonalisiert werden kann. Es ist jedoch etwas irreführend.

In Bra-Ket-Sprache: Die Wellenfunktion ist definiert als der Ausdehnungskoeffizient des willkürlichen Zustands im Raumbasis-Ket. | a ⟩ = ∫ D X | X ⟩ ⟨ X | a ⟩ = ∫ D X | X ⟩ F a ( X ) . Für einen allgemeinen Zustand | a ⟩ , F a ist die Wellenfunktion. Die Wahrscheinlichkeit ist F ∗ F = | ⟨ X | a ⟩ | 2 .

Wie man Wellenfunktionen in der Quantenmechanik in Mathematik versteht
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