Warum können nicht normalisierbare Lösungen keine Teilchen darstellen?

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit normalisierter Wellenfunktion zu entdecken$\psi(x)$in einem Intervall$[x_1,x_2]$Ist

$$P(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Ist die Wellenfunktion nicht normiert, sondern normierbar, also das Integral $C := \int_{-\infty}^\infty\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x$endlich ist, dann können wir diese Wahrscheinlichkeit noch definieren als $$P(x_1,x_2) = \frac{1}{C}\int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Das ist im Wesentlichen nur eines der Grundpostulate der Quantenmechanik – Zustände sind keine Vektoren im Hilbert-Raum, sondern Strahlen (bzw. Elemente des projektiven Hilbert-Raums ), und es spielt keine Rolle, ob man einen normierten oder einen nicht normierten Repräsentanten eines Strahls wählt physikalische Größen zu berechnen.

Eine nicht normalisierbare Wellenfunktion ist jedoch kein Mitglied eines Strahls - sie liegt normalerweise nicht im Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R})$, auf dem die Quantenmechanik stattfindet, weil die Elemente von$L^2(\mathbb{R})$besitzen per Definition endliche Integrale, sind also normierbar. Insbesondere gibt es keine Möglichkeit, ein Rezept für die Berechnung zu geben$P(x_1,x_2)$davon. Daher ist eine nicht normierbare Wellenfunktion kein Zustand im Sinne der Quantenmechanik , sie stellt keinen physikalisch sinnvollen oder zugänglichen Zustand dar (obwohl sie wie die Zustände eine Idealisierung eines solchen sein kann$\lvert x\rangle$).