Normalisieren Sie die Wellenfunktion in Bezug auf die Zeit statt auf den Raum

Für ein Quantensystem mit einem Freiheitsgrad auf dem geschlossenen Intervall$I$, der Hilbert-Raum ist$L^2(I)$. In diesem Fall die$I$ist der Bereich für die Raumkoordinate$x$, so dass eine Normierung bezüglich des Lebesgue-Maß an gilt$I$. Nehmen wir nun an, Sie haben eine durch den Hamiltonian beschriebene Dynamik$H$auf einem solchen Hilbert-Raum und so$\psi$ist ein Eigenzustand von$H$mit Eigenwert$E$. Die zeitliche Entwicklung von$\psi$Ist

$$\psi\mapsto e^{iEt}\psi.$$

Wenn wir naiv versuchen, diese Funktion zu integrieren, kommen wir dazu

$$\int_{\mathbb R}|e^{iEt}\psi(x)|^2\text d t = \int_{\mathbb R}|\psi(x)|^2\text d t = |\psi(x)|^2\int_{\mathbb R}\text dt,$$

die für alle unendlich ist$x\in I$wofür$\psi(x)\neq 0$oder sonst null. Wir haben dann ein Problem bei dem Versuch, einem solchen Integral die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Sie können dieses Ergebnis dahingehend interpretieren, dass ein Teilchen passieren wird$x$unendlich oft zur Verfügung gestellt$\psi(x)\neq 0$wenn Sie auf unbestimmte Zeit warten, ist diese Information aber bereits abzugsfähig$\psi$selbst, es besteht keine Notwendigkeit, ein solches Integral zu machen.

Zeit ist keine quantenmechanische Observable; es ist ein Etikett. Um den Unterschied zu verstehen, müssen wir die klassische Mechanik betrachten, in der kanonische Koordinaten Funktionen einer Zeitbezeichnung sind. Insbesondere hat die Zeit keinen konjugierten Impuls, mit dem sie eine kanonische Poisson-Klammer hat.

In ähnlicher Weise ist die Wirkung in der Feldtheorie ein Raumzeitintegral über eine Funktion von raumzeitabhängigen Feldern und ihren Ableitungen. Diese Felder spielen die Rolle von kanonischen Feldern und ihre Argumente spielen die Rolle einer Zeitvariablen, so dass sogar der Raum in diesem Zusammenhang keine Observable ist, weil wir die Feldamplitude bei einem Raumzeitereignis messen, nicht den Ort eines einzelnen Teilchens.

Das funktionale Derivat$\frac{\delta\phi (x)}{\delta \phi (y)}=\delta (x-y)$und Poisson-Klammer$\{\phi(x),\,\pi(y)\}=\delta(x-y)$Verallgemeinern Sie analoge Ergebnisse aus der Quantenmechanik und zeigen Sie, wie die Bezeichnungen die Größen in Beziehung setzen, die zu Observablen werden, wenn wir diese Theorie quantisieren.

Angesichts dessen

$$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dx = 1,\tag1$$ impliziert, dass sich das Teilchen zu jeder Zeit irgendwo im Raum befinden muss, impliziert nicht, dass es sich irgendwo in der Zeit an einer bestimmten Position befinden muss $x$. Um dies zu sehen, betrachten Sie das einfache Beispiel eines Teilchens in einem eindimensionalen Kasten (unendlicher Potentialtopf). Die Wellenfunktion $\psi$und die Wahrscheinlichkeitsdichte $|\psi|^2$der ersten paar Eigenzustände sehen wie in der Abbildung unten aus

Wie Sie sehen können, gibt es bestimmte Punkte (Knoten) wie diese$|\psi(t)|^2=0$was bedeutet, dass das Teilchen dort niemals gefunden werden würde.

Sie können auch feststellen, dass Gl. (1) stellt eine Summe von Wahrscheinlichkeiten dar, daher muss sie dimensionslos sein. Dies impliziert, dass die Dimension von$\psi$(für eindimensionale Systeme) ist$[\mathrm{length}]^{-1/2}$. Wenn wir nun annehmen, dass (1) und seine physikalische Interpretation als Normalisierung von Wahrscheinlichkeiten richtig sind, dann ist die Dimension von

$$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dt,$$ muss sein $[\mathrm{time}][\mathrm{length}]^{-1/2}$was bedeutet, dass das obige Integral nicht gleich eins sein kann. Es kann daher keine Wahrscheinlichkeit darstellen.