Beliebige Normierung einer freien Teilchenwellenfunktion

$\newcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}$Ich lese das Buch von Landau und Lifshitz über nichtrelativistische Quantenmechanik und habe einige Zweifel an einer Passage im Kapitel über elastische Streuung. Ich habe die französische Ausgabe von 1966, daher kann ich nicht genau zitieren, aber es sollte in §125 stehen, ungefähr aus Gleichung (125.10).

Während der Untersuchung der Übergangsrate im kontinuierlichen Spektrum (Umgang mit freien Teilchen mit gegebenen Impulsen) aufgrund eines gewissen Potenzials$U$, steht geschrieben: „Wir normalisieren die ausgehende Wellenfunktion mit Schwung$\vec p'$, als Dirac-Delta im Impulsraum

$$\begin{equation*} \psi_{\vec{p}'}(\vec{x})=\frac1{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}'\cdot\vec{x}} \end{equation*}$$ und die ankommende Wellenfunktion zur Einheit der Stromdichte $$\begin{equation*} \psi_{\vec{p}}(\vec{x})=\sqrt{\frac{m}{p}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{x}} \end{equation*}$$ daher die durch die goldene Regel von Fermi gegebene Wahrscheinlichkeit $$\begin{equation*} \dd w_{\vec{p}\vec{p}'}=\frac{2\pi}{\hbar}\bigl\lvert \langle\vec{p}'|U|\vec{p}\rangle\bigr\rvert^2\delta\bigl(E(\vec{p})-E(\vec{p}')\bigr)\,\dd\nu \end{equation*}$$ stellt den differentiellen Wirkungsquerschnitt des Streuprozesses dar».

Hier$m$ist die Masse des Teilchens,$p=\lVert\vec{p}\rVert$und$\dd\nu$stellt in diesem Fall ein "Intervall von Zuständen" dar$\dd p_x\dd p_y\dd p_z$.

Nun meine Frage: Kann der Normalisierungsfaktor eines freien Teilchens beliebig sein? Mein Gefühl ist, dass die Autoren es getan haben, "weil es funktioniert" und weil es das gewünschte Ergebnis liefert, aber wahrscheinlich weiß ich einfach nicht, was hinter den Vorhängen dieser Ableitung passiert. Ich verstehe, dass freie Teilchenwellenfunktionen sowieso nicht normalisiert werden können$\mathbb{R}^3$, aber bedeutet dies, dass ich sie mit dem beliebigen (konstanten Skalarfaktor) multiplizieren kann, den ich möchte?

Als die Gleichung für die goldene Regel für Übergänge zwischen kontinuierlichen Spektralzuständen eingeführt wurde (§43 in meiner Ausgabe), haben die Autoren das tatsächlich geschrieben$\dd w$kann nicht als Übergangsrate betrachtet werden, da es nicht einmal die richtigen Einheiten hat (ich denke, das hängt davon ab, wie Sie "die Zustände zählen": Ich hätte zB verwenden können$\dd\nu=\dd p_x\dd p_y\dd p_z/\hbar^3$auch).

Wie löse ich all diese Willkür auf?