Die Summe von Wellenfunktionen normieren und Wahrscheinlichkeiten berechnen - Konzepte verstehen

Question

Die Summe von Wellenfunktionen normieren und Wahrscheinlichkeiten berechnen - Konzepte verstehen

Jesse

Ein Zustand eines durch unendliche Potentialwände begrenzten Teilchens bei x=0 und x=L wird durch eine Wellenfunktion beschrieben $\psi = a\phi_1 + b\phi_2$ Wo $\phi_i$ sind die stationären Zustände.

Nehmen wir also an, wir wollen diese Wellenfunktion normalisieren. So wie ich es verstehe ist die Vorgehensweise wie folgt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen an irgendeinem Punkt von 0 bis L befindet, ist 1. Also muss ich die Wellenfunktionen quadratisch über dieses Intervall integrieren. Nach dem Superpositionsprinzip ist es in Ordnung, sie einfach hinzuzufügen. Darüber hinaus jede $\psi$ kann auch ausgedrückt werden als $\psi \psi^*$

$\psi = a\phi_1 + b\phi_2$

$\psi = (a\phi_1\phi_1^* + b\phi_2\phi_2^*)$

Wir wollen integrieren $\vert\psi\vert ^2$

$(a\phi_1\phi_1^*)^2 + 2ab\phi_2\phi_2^*\phi_1\phi_1^*+(b\phi_2\phi_2^*)^2 = (a^2 + b^2)$

Da die Phi-Funktionen Eigenwerte sind, sind die auf der Diagonalen der Matrix als einzige nicht Null, weshalb die Kreuzterme in der Mitte (sie sind Null) und die Endterme verschwinden $(\phi_i\phi_i^*)$ gleich 1 sind. Also bekommen wir

$\psi = \int_0^L\vert\psi(x)\vert ^2dx = \int_0^L\vert(a^2 + b^2)\vert^2dx=1$

und deshalb

$\int_0^L\vert(a^2 + b^2)\vert^2dx=1$ Und

$(a^2+b^2)^2x\vert^L_0 = 1 \rightarrow (a^2+b^2)^2L=1\rightarrow L=1/(a^2+b^2)^2$

Die konzeptionelle Frage, die ich hatte, war, dass, wenn wir hier die Wahrscheinlichkeit zum Quadrat haben, diese oder die Quadratwurzel dieser Wahrscheinlichkeit Ihre Normalisierungskonstante ist? Ferner wäre es auch zulässig, jede der Wellenfunktionen als zu behandeln $A\sin\frac{n\pi x}{L}$ Wo $A_1=a$ Und $A_2=b$ , und versuchen Sie die Integration auf diese Weise? Angesichts der Tatsache, dass die Wellenfunktionen angeblich unterschiedlich sind, schien es falsch zu sein, aber wir wissen auch, dass es sich um stationäre Zustände handelt, also gehen sie an beiden Enden des Potentialtopfs auf Null und sind sinusförmig, richtig?

Ich weiß, dass dieser Bereich nicht immer auf HW-Fragen eingeht. Aber das ist die Art von Dingen, von denen ich denke, dass sie vielen Leuten helfen könnten, sich mit diesem Konzept vertraut zu machen, weil ich nicht die Einzige sein kann, die ein wenig verloren ist, wenn es darum geht, wie man diese Techniken tatsächlich anwendet.

Ari Ben Kanaan

Ich denke, was Sie versucht haben, war

| Ψ |^{2} = Ψ Ψ^{*}

$|\Psi|^2=\Psi\Psi^*$ .

Ψ \neq Ψ Ψ^{*}

$\Psi \ne \Psi\Psi^*$ .

Jesse

ja, du hast recht..

Antworten (1)

Die Summe von Wellenfunktionen normieren und Wahrscheinlichkeiten berechnen - Konzepte verstehen

Ich denke, was Sie versucht haben, war $|\Psi|^2=\Psi\Psi^*$ . $\Psi \ne \Psi\Psi^*$ .

David z · Answer 1

Ehrlich gesagt ist das Argument, das Sie hier vorbringen, ein Durcheinander - die Frage basiert auf schlechten Voraussetzungen. Lassen Sie mich Ihnen zeigen, wie man es richtig macht, und hoffentlich wird das Ihre Verwirrung beseitigen.

Sie haben Recht, dass eine Wellenfunktion erfüllt sein muss, damit sie normalisiert werden kann

\begin{matrix} (1) & \int_{allen Platz} P (X) D X = \int_{allen Platz} ψ^{*} (X) ψ (X) D X = 1 \end{matrix}

$\int_\text{all space} P(x)\mathrm{d}x = \int_\text{all space} \psi^*(x)\psi(x)\mathrm{d}x = 1\tag{1}$

Aber diese Aussage:

Darüber hinaus jede $\psi$ kann auch ausgedrückt werden als $\psi\psi^∗$

das ist nicht richtig. Gegeben eine Funktion $\psi(x)$ , Du kannst schreiben $\psi(x)\psi^*(x)$ , aber das ist eine andere Funktion.

Wie auch immer, da Ihre Wellenfunktion geschrieben werden kann

ψ (X) = A ϕ_{1} (X) + B ϕ_{2} (X)

$\psi(x) = a\phi_1(x) + b\phi_2(x)$

dann stecken Sie das einfach in die Normalisierungsbedingung (1) und erhalten

\int_{0}^{L} (A^{*} ϕ_{1}^{*} (X) + B^{*} ϕ_{2}^{*} (X)) (A ϕ_{1} (X) + B ϕ_{2} (X)) D X = 1

$\int_0^L \bigl(a^* \phi_1^*(x) + b^* \phi_2^*(x)\bigr)\bigl(a \phi_1(x) + b \phi_2(x)\bigr)\mathrm{d}x = 1$

was sich ausdehnt

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} A^{*} A \int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{1} (X) D X + A^{*} B \int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{2} (X) D X \\ + B^{*} A \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{1} (X) D X + B^{*} B \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{2} (X) D X = 1 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{multline} a^*a \int_0^L \phi_1^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x + a^*b \int_0^L \phi_1^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x \\ + b^*a \int_0^L \phi_2^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x + b^*b \int_0^L \phi_2^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = 1 \end{multline}\tag{2}$

Jetzt können Sie die Identität verwenden

\int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{2} (X) D X = \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{1} (X) D X = 0

$\int_0^L\phi_1^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = \int_0^L\phi_2^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x = 0$

was daraus folgt, dass $\phi_1$ Und $\phi_2$ sind orthogonale Funktionen (es reicht nicht, dass sie Eigenfunktionen eines Operators sind, sie müssen orthogonal sein) und die Identität

\int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{1} (X) D X = \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{2} (X) D X = 1

$\int_0^L\phi_1^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x = \int_0^L\phi_2^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = 1$

was einfach die Tatsache widerspiegelt, dass $\phi_1$ Und $\phi_2$ sind normalisiert . (Überzeugen Sie sich selbst, dass dies mit der Normierungsbedingung Gleichung (1) identisch ist.) Mit diesen beiden Identitäten reduziert sich Gleichung (2) auf

| A |^{2} + | B |^{2} = 1

$\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$

Die konzeptionelle Frage, die ich hatte, war, dass, wenn wir hier die Wahrscheinlichkeit zum Quadrat haben, diese oder die Quadratwurzel dieser Wahrscheinlichkeit Ihre Normalisierungskonstante ist?

Das hängt alles davon ab, wie Sie Ihre Normalisierungskonstante definieren? Es hängt davon ab, was Sie normalisieren und wie genau Sie es als Funktion ausdrücken. Wie auch immer Sie es tun, die Endvoraussetzung für die Normalisierung ist genau das $\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$ .

Soweit die Verwendung der spezifischen Sinusform für die $\phi_i$ , können Sie das in diesem Fall tun, weil Sie genügend Informationen erhalten, um herauszufinden, dass die Eigenfunktionen tatsächlich sinusförmig sind. Aber Sie müssen nicht wirklich wissen, dass sie sinusförmig sind, damit das vorhergehende Argument funktioniert; Alles, was Sie wissen müssen, ist, dass die $\phi_i$ s sind orthonormal.

Danke! Um absolut klar zu sein, reduziert sich der Grund (2) auf $a^2 + b^2 = 1$ Denn $\phi_1(x)\phi_1^*(x) = 1$ Und $a^*a = a^2$ und dasselbe gilt für b. Und wenn ich das normalisieren wollte $\psi$ Ich begann mit Ich hätte haben sollen $\frac{1}{(a^2+B^2)}(a\phi_1 + b\phi_2)$ Rechts?
(1) Das stimmt nicht $\phi_1(x)\phi_1^*(x) = 1$ . Das Produkt $\phi_1(x)\phi_1^*(x)$ ist eine Funktion, die im Allgemeinen mit variieren wird $x$ . Erst wenn Sie es integrieren, erhalten Sie 1. (2) Ich hatte einen Fehler gemacht, indem ich die Betragszeichen weggelassen habe; $a^*a = \lvert a^2\rvert$ , nicht $a^2$ , aber wenn man das berücksichtigt, ja, das ist der Grund, den man bekommt $\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$ . (3) Übung für den Leser :-) Probieren Sie das Verfahren, das ich Ihnen gezeigt habe, an dieser Funktion aus und sehen Sie, ob es normalisiert ist.

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Jesse

Ari Ben Kanaan

Jesse

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David z

Jesse

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