Normalisierung der Eigenfunktion der physikalischen Position

Die scheinbar traurige Realität ist, dass solche$\psi_{x_o}$ist nicht wirklich eine Ortseigenfunktion. Versuchen Sie, mit dem Positionsoperator darauf zu reagieren. Sie bekommen einfach nicht$x_o$mal die Wellenfunktion.

Es gibt jedoch wichtige und sinnvolle Möglichkeiten, wie es sich nahezu um eine Positionseigenfunktion handelt. Beachten Sie, dass eine solche Gaußsche für sehr kleine Werte extrem schmal ist$a$. So können Sie die Multiplikation mit approximieren$x$(das ist die Aktion des Positionsoperators in der Positionsbasis) durch Multiplikation mit$x_o$. An den einzigen Stellen, auf die es ankommt (wo die Wellenfunktion nicht übermäßig klein ist), ist die Position sehr nahe $x_o$, also schadet es nicht, einfach so zu tun, als wäre es wirklich$x_o$.

In der Tat, wenn wir die Grenze nehmen$a \to 0$es ist ein exaktes Ergebnis. Das Problem ist, dass der Zustand in diesem Fall nicht normalisierbar wird. Sicher, es ist eine Delta-Funktion, also ist ihre Fläche immer noch nur eins, aber die Fläche unter ihrem absoluten Quadrat – woran wir wirklich interessiert sind – ist unendlich. Das sollte Sie aber nicht weiter stören, denn diese wahren Ortseigenzustände (Deltafunktionen in der Ortsbasis) bilden eine vollständige Grundlage für den Raum der physikalischen Wellenfunktionen. Jeder solche Zustand$\psi(x)$kann als Überlagerung von Ortseigenzuständen dargestellt werden:

Wo jetzt$\psi_x(x')$stellt den wahren (nicht normierbaren) Positionseigenzustand an Position x dar.

$\psi_{x_0}$ist die Grundzustandswellenfunktion eines harmonischen Potentials, das bei zentriert ist$x_0$mit einer passend gewählten Krümmung$a=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Da in realen Systemen (annähernd) häufig Oberschwingungspotentiale auftreten, ist dies "physikalisch".