Eigenfunktion des Wellenvektors [geschlossen]

Ich lese ein Buch, in dem es heißt, dass die Eigenfunktionen gegeben sind durch

⟨ R | k ⟩ = 1 Ω e ich k ⋅ R

Kann mir erstmal jemand erklären, wie man diesen Begriff liest ⟨ R | k ⟩ und warum ist es Eigenfunktion? Ich bin an die Notation gewöhnt L | ψ ⟩ = l | ψ ⟩ .

Meine zweite Frage ist, wie bekomme ich diese Formel? Ich begann mit Eigenfunktion für Impuls

P | ψ ⟩ = P | ψ ⟩ − ich ℏ D D R | ψ ⟩ = P | ψ ⟩ D | ψ ⟩ | ψ ⟩ = ich ℏ P D R

Als Ergebnis bekomme ich also

| ψ ⟩ = A exp ⁡ ( ich ℏ P ⋅ R ) .

Zunächst habe ich versucht, die Relation zu verwenden P = ℏ k , und bekomme

| ψ ⟩ = A exp ⁡ ( ich k ⋅ R )

Aber wie soll ich das normalisieren? Ist das Integral gleich Dirac Delta δ ( k − k ' )? Und gibt es eine Verbindung zwischen meiner | ψ ⟩ Und ⟨ R | k ⟩ ?

In der Dirac-Notation ist es üblich, die Eigenzustände eines selbstadjungierten Operators mit ihren jeweiligen Eigenwerten zu kennzeichnen oder aufzuzählen. Im Fall des Impulsoperators: P | P ⟩ = P | P ⟩ . Also in diesem Sinne | ψ ⟩ = | P ⟩ in Ihrem Fall. Als letzten Punkt, normalerweise ⟨ X | ψ ⟩ ≡ ψ ( X ) bezeichnet die Wellenfunktion (im Pos.-Raum). IMO, die Gleichung D D R | ψ ⟩ = … macht nicht viel Sinn.
Danke, aber warum denkst du, dass es nicht viel Sinn macht?
Schauen Sie sich die gegebene Antwort an; du musst dich bewerben ⟨ X | von links. Mit anderen Worten wirkt der Impulsoperator als Differentialoperator in der Ortsdarstellung.

Antworten (2)

Die Eigenfunktionen des Impulsoperators P ^ oder k ^ wie du es auch nennst | k ⟩ mit

P ^ | k ⟩ = P | k ⟩
Durch Anlegen des BHs der Position ⟨ R | Sie erhalten die Ortsdarstellung einer Wellenfunktion | ψ ⟩ dh ψ ( X ) = ⟨ R | ψ ⟩ . Deshalb ⟨ R | k ⟩ ∝ e ich k ⋅ R ist die Ortsdarstellung der Eigenfunktionen des Impulsoperators.

Beachten Sie, dass eine ebene Welle ψ ( X ) = e ich k X ist selbst nicht normalisierbar. Dies ergibt sich aus der Fourier-Theorie oder der Heisenbergschen Unschärferelation, weil diese Wellenfunktion einen bestimmten Impuls hat P So Δ P = 0 . Um HUP dennoch befriedigen zu können, benötigen Sie Δ X = ∞ .

Sie könnten erwägen, die Frage nach der Normalisierung zu beantworten.

Ihre Notation ist sehr verwirrt. Wenn | ψ ⟩ ist ein Eigenvektor von P ^ Ausdruck

P ^ | ψ ⟩ = − ich ℏ ∂ R | ψ ⟩
kann keinen Sinn machen | ψ ⟩ ist ein Element des abstrakten Hilbert-Raums und kennt nichts davon R . Sie verwirren den abstrakten Zustandsvektor | ψ ⟩ mit seinen Bestandteilen in der Positionsbasis ψ ( R ) ≡ ⟨ R | ψ ⟩ . Hier | R ⟩ sind die Eigenzustände von R ^ :
R ^ | R ⟩ = R | R ⟩ .
Es sind die Bestandteile von | ψ ⟩ die die Wellenfunktion bilden. Der korrekte Ausdruck für die Wirkung des Impulsoperators ist
⟨ R | P ^ | ψ ⟩ = − ich ℏ ∂ R ⟨ R | ψ ⟩
die die Aktion des Operators auf der Wellenfunktion in der Positionsbasis zeigt ψ ( R ) = ⟨ R | ψ ⟩ . Es ist die Wellenfunktion, die die Form annimmt
ψ ( R ) ≡ ⟨ R | ψ ⟩ = e ich P R / ℏ .

Danke, mein Problem war also die verwirrende Notation und ich muss mehr über Repräsentationen lernen. Danke schön!
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