Normalisierung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

Question

Normalisierung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

Minethlos

Ich habe die eindimensionale Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

\begin{matrix} (1) & ich ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (x, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t), \end{matrix}

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (x,t), \tag{1}$

mit allgemeiner Lösung

\begin{matrix} (2) & ψ (x, t) = EIN e^{ich (k x - ω t)} + B e^{ich (- k x - ω t)} . \end{matrix}

$\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}. \tag{2}$

Ich würde erwarten, dass die Lösung normalisiert ist:

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (x, t) |^{2} d x = 1. \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^2 dx = 1. \tag{3}$

Aber

\begin{matrix} (4) & | ψ (x, t) |^{2} = ψ (x, t) ψ^{*} (x, t) = {EIN}^{2} + B^{2} + EIN B (e^{2 ich k x} + e^{- 2 ich k x}), \end{matrix}

$|\psi(x,t)|^2 = \psi(x,t)\psi^* (x,t) = A^2 + B^2 + AB ( e^{2ikx} + e^{-2ikx} ), \tag{4}$

und das Integral divergiert:

\begin{matrix} (5) & \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (x, t) |^{2} d x = \frac{EIN B}{2 ich k} (e^{2 ich k x} - e^{- 2 ich k x}) |_{- \infty}^{\infty} + ({EIN}^{2} + B^{2}) x |_{- \infty}^{\infty} . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^2 dx = \frac{AB}{2ik} (e^{2ikx} - e^{-2ikx})\biggl|_{-\infty}^\infty + (A^2+B^2) x\biggl|_{-\infty}^\infty. \tag{5}$

Was ist der Grund dafür? Kann es korrigiert werden?

Ryan Unger

Sie können eine ebene Welle nicht normalisieren.

JamalS

Es gibt Zustände, die nicht normalisiert werden können, das ist völlig normal. Wenn Sie eine Normalisierung wünschen, müssen Sie die Domäne auf ein endliches Intervall beschränken.

Antworten (5)

Normalisierung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

Es gibt Zustände, die nicht normalisiert werden können, das ist völlig normal. Wenn Sie eine Normalisierung wünschen, müssen Sie die Domäne auf ein endliches Intervall beschränken.

Ján Lalinský · Answer 1

Schrödingers Gleichungen können sowohl normalisierbare als auch nicht normalisierbare Lösungen haben. Die Funktion

\begin{matrix} (2) & ψ_{k} (x, t) = EIN e^{ich (k x - ω t)} + B e^{ich (- k x - ω t)} . \end{matrix}

$\psi_k(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}. \tag{2}$

ist eine Lösung der Freiteilchen-Schrödinger-Gleichung für jede reelle Zahl $k$ und $\omega = |k|/c$ .

Wenn die Gleichung eine Klasse von Lösungen hat, die durch stetige Parameter parametrisiert sind ( $k$ ), sind diese Lösungen nicht auf unendlichen Raum normierbar.

Ein Zweck der Wellenfunktion besteht darin, sie zur Berechnung der Konfigurationswahrscheinlichkeit über die Born-Regel zu verwenden. die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen durch beschrieben wird $\psi$ hat $x$ im Intervall $(a,b)$ der Linie ist

\int_{a}^{b} | ψ (x) |^{2} d x .

$\int_a^b|\psi(x)|^2\,dx.$

Damit das funktioniert, $\psi$ muss so sein, dass es ein endliches Integral hat

\int_{S} | ψ (x) |^{2} d x

$\int_S |\psi(x)|^2\,dx$

wo $S$ ist eine Region, in der es nicht verschwindet.

Eine ebene Welle (oder die Summe solcher Wellen) kann nicht normiert werden $S=\mathbb R$ (oder höherdimensionale Versionen des gesamten unendlichen Raums), aber es kann für endliche Intervalle (oder Bereiche des Konfigurationsraums, die ebenfalls ein endliches Volumen haben) normalisiert werden.

Menschen gehen mit dieser Situation auf verschiedene Weise um:

anstatt $\mathbb R$ , beschreiben sie System-by-Funktionen, die auf eine imaginäre Box endlicher Größe beschränkt sind, sodass alle regulären Funktionen normalisierbar sind (Delta-Verteilungen bleiben selbst dort nicht normalisierbar). Es wird angenommen, dass die genaue Größe der Box sehr groß ist, aber sie wird fast nie auf einen bestimmten Wert festgelegt, da davon ausgegangen wird, dass ihr Einfluss auf das Ergebnis vernachlässigbar wird, wenn sie zu größeren Größen erweitert wird.
unendlichen Raum beibehalten, aber nur normalisierbare Funktionen verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen (niemals nicht normalisierbare Funktionen mit der Born-Regel verwenden);
Behalten Sie unendlichen Raum bei, behalten Sie ebene Wellen bei, verwenden Sie den Dirac-Formalismus und seien Sie sich seiner Nachteile bewusst. Arbeiten Sie niemals mit $\langle x|x\rangle$ wie bei etwas vernünftigem, denke nicht $|x\rangle$ , $|p\rangle$ stellen physikalische Zustände dar (man nennt sie Zustände, um die Sprache zu vereinfachen), beachten Sie das $\langle x|$ ist eine lineare Funktion, die eingeführt wird, um auf ein bestimmtes Ket einzuwirken, keine Ersatznotation für $\psi^*$ .

Ich habe eine Frage bezüglich der Box-Normalisierung. Wenn wir das Teilchen in eine Kiste stecken, würde das nicht bedeuten, dass wir es in den unendlichen Potentialtopf stecken? Wenn ja, dann erfüllen viele ebene Wellen die Randbedingungen nicht. Wenn nicht, bedeutet das, dass wir nur ebene Wellen betrachten können, aber in einem endlichen Bereich? Wie wird das begründet?
Ja, Box ist ein kurzer Ausdruck für unendliches Potential gut. Ebene Welle $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ erfüllt tatsächlich nicht die Randbedingung $\psi(wall)=0$ , es erfüllt nur die Schr.-Gleichung. Das bedeutet, dass keine solche ebene Welle Teilchen in einer solchen Situation beschreiben kann. Seine Bedeutung ist rein mathematisch; man kann es verwenden, um die wahre Lösung des Problems auszudrücken, typischerweise als lineare Kombination der ebenen Wellen. Eine solche lineare Kombination kann durchgeführt werden, um die Randbedingungen zu erfüllen, selbst wenn einzelne ebene Wellen dies nicht tun.
Wenn es Sie interessiert, ich habe mich in dieser Angelegenheit umgesehen und herausgefunden, dass es eine Box-Normalisierung mit periodischen Randbedingungen gibt (nicht die strengeren Randbedingungen des unendlichen Brunnens). Dies hilft mit der Tatsache, dass jetzt Lösungen für ebene Wellen gültig sind.

Sofia · Answer 2

Die Lösungen vom Typ $e^{i(kx - \omega t)}$ (sogenannte Fourier-Komponenten) sind nicht auf 1 normierbar. Sie werden jedoch in der Quantentheorie häufig verwendet. Sie sind normalisiert (ziemlich unpassender Ausdruck) zu $\delta$ Dirac,

\begin{matrix} (ich) & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{ich (k^{'} x - ω^{'} t)} e^{- ich (k x - ω t)} d x = δ (k - k^{'}) e^{ich (ω - ω^{'})} . \end{matrix}

$\frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k'x - \omega' t)}e^{-i(kx - \omega t)} dx = \delta (k - k') e^{i(\omega - \omega')}. \tag{i}$

(Meistens $\omega$ ist Funktion von $|k|$ st $\delta (k - k') e^{i(\omega - \omega')}$ wird $\delta (k - k')$ .)

Aber keine Sorge, die Fourier-Komponenten sind eine Idealisierung, sie kommen in der Natur nicht vor. Was ja existiert, sind Wellenpakete endlicher Länge und auf 1 normierbar. Wir können sie darstellen als

\begin{matrix} (ii) & \int_{- \infty}^{+ \infty} f (k) e^{- ich (k x - ω t)} d k . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{-i(kx - \omega t)} dk. \tag{ii}$

Wenn das Wellenpaket eine sehr enge Verteilung von hat $k$ Werte, dann ist es auch sehr lang, und in einigen Fällen können wir es uns leisten, es durch eine Fourier-Komponente zu approximieren.

mmesser314 · Answer 3

Die anderen Antworten sind richtig. Vielleicht interessieren Sie sich aber für einen Einblick, warum die ebene Welle nicht normalisierbar, aber dennoch nützlich ist.

Die allgemeine Lösung ist eine Überlagerung von Komponenten der Form $\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}$ . Jede Komponente hat eine andere $k$ und $\omega$ .

Eine einzelne Komponente ist eine gleichmäßige Verteilung über den gesamten Raum. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im ganzen Raum zu finden, ist 1, aber unendlich klein in jedem endlichen Intervall. Wie Sie festgestellt haben, muss die Amplitude infinitesimal sein, um diese Lösung zu normalisieren.

Wenn Sie zwei Komponenten kombinieren, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht einheitlich. Die Wellenfunktionen sind Wellen mit Phasen. Sie stören. Die Wahrscheinlichkeit ist dort höher, wo sie sich verstärken, und niedriger, wo sie sich aufheben.

Mit zwei oder mehr Komponenten erhalten Sie immer noch eine nicht normierbare periodische Funktion. Aber es ist möglich, die Summe zu einem periodischen Zug von Wellenpaketen zu machen, wobei die Amplitude außerhalb der Pakete ungefähr 0 ist. Sie können das Integral über ein einzelnes Paket mit endlichen Komponentenamplituden zu 1 machen. Aber das Integral über die ganze Welle ist immer noch unendlich.

Indem Sie immer mehr Komponenten hinzufügen, deren k's immer näher beieinander liegen, können Sie die Pakete immer weiter verteilen. Dabei muss die Amplitude jeder Komponente kleiner werden.

Wenn Sie dies auf die Spitze treiben, können Sie die Pakete unendlich weit auseinander spreizen, indem Sie eine unendliche Summe von Komponenten mit infinitesimal getrennten k's hinzufügen. Die Amplitude jeder Komponente ist unendlich klein, aber Sie haben unendlich viele davon. Wenn Sie die Amplituden über einen kleinen Bereich von k addieren (integrieren), ist die Summe endlich.

Die durch diese Summe von Komponenten erzeugte Wellenfunktion ist ein einzelnes normalisiertes Wellenpaket.

Phönix87 · Answer 4

Phönix87

Daran ist nichts auszusetzen, da die Lösung dieser Gleichung nicht im Hilbert-Raum lebt. Das heißt, es gibt keine Eigenvektorlösung für die Gleichung freier Teilchen, da der Hamiltonoperator nur einen kontinuierlichen Teil in seinem Spektrum hat. Das Beste, was Sie tun können, wenn Sie beim Hilbert-Raum bleiben wollen, ist, eine Folge von Vektoren zu finden, die ungefähr wie Eigenvektoren aussehen. Alternativ müssen Sie Ihren Hilbert-Raum anreichern , indem Sie Verteilungen einbeziehen, wie in der Theorie der manipulierten Hilbert-Räume beschrieben .

yuggib

Die Lösung des Cauchy-Problems (Schrödinger-Gleichung)

i \partial_{t} ψ (t) = - Δ ψ (t)

$i\partial_t \psi(t)=-\Delta\psi(t)$ ,

ψ (0) = ψ_{0}

$\psi(0)=\psi_0$ in

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ ist einzigartig und bekannt (weil die

- Δ

$-\Delta$ ist selbstadjungiert):

ψ (t) = e^{i t Δ} ψ_{0}

$\psi(t)=e^{it\Delta}\psi_0$ . In diesem Fall besteht keine so große Notwendigkeit, verallgemeinerte Eigenvektoren und Spektraltheorie zu befürworten ;-)

Neuneck · Answer 5

Lösungen für ebene Wellen der Schrödinger-Gleichung sind nicht normierbar, da sie sich mit konstanter Amplitude bis ins Unendliche erstrecken. Jedes physikalische Teilchen ist jedoch auf einen endlichen Raum beschränkt (zumindest auf das sichtbare Universum), daher müssen Sie sich Überlagerungen ebener Wellen ansehen. Dies bedeutet, dass Ihr Ausgangspunkt ist

ψ (x, 0) = \int d k \tilde{ψ} (k) e^{ich (k x - ω \cdot 0)}

$\psi(x, 0) = \int \mathrm dk \tilde \psi(k) e^{i( k x- \omega\cdot 0)}$ wo

ψ (k)

$\psi(k)$ ist eine Funktion mit endlicher Breite. Die Situation der ebenen Welle wird durch die Aufnahme abgedeckt

\tilde{ψ} (k) = δ (k - k^{'})

$\tilde \psi(k) = \delta(k-k')$ .

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Der Quantenmann

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yuggib

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Normalisierung einer Wellenfunktion in einem gemischten Well

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Frage zum Beweis von: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein