Benötigen Sie Hilfe, um zu zeigen, dass diese Wasserstoffwellenfunktion normalisiert ist

Question

Benötigen Sie Hilfe, um zu zeigen, dass diese Wasserstoffwellenfunktion normalisiert ist

Chase Hill

Ich muss überprüfen, ob die folgende Wasserstoffatom-Wellenfunktion funktioniert

Ψ (X, j, z; T = 0) \equiv \frac{4}{(2 A)^{3 / 2}} [\frac{1}{\sqrt{4 π}} e^{- R / A} + A \frac{R}{A} e^{- R / (2 A)} (- ich Y_{1}^{+ 1} + Y_{1}^{- 1} + \sqrt{7} Y_{1}^{0})]

$\Psi(x,y,z;t=0)\equiv\frac{4}{(2a)^{3/2}}\left[\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-r/a}+A\frac{r}{a}e^{-r/(2a)}\left(-iY_1^{+1}+Y_1^{-1}+\sqrt{7}Y_1^0\right)\right]$ ist normalisiert für

A = 1 / (12 \sqrt{6})

$A=1/(12\sqrt{6})$ .

Ich weiß, dass dies impliziert, dass das innere Produkt von gezeigt wird $\Psi$ mit sich selbst gleich 1, obwohl sich herausgestellt hat, dass es eine Herausforderung ist, dorthin zu gelangen.

Ich habe versucht, sowohl die Definitionen der sphärischen Harmonischen einzustecken als auch das Integral direkt zu lösen (dies führt zu einer sehr großen Anzahl von Termen) und durch Einsetzen $R_{nl}$ radiale Funktionen ( ~~aber damit bleibt der erste Term als eigenständige radiale Funktion~~ ).

Es fühlt sich an, als wäre die zweite Methode der beabsichtigte Weg, um das Problem anzugehen, aber ich könnte wirklich einen Tipp in die richtige Richtung gebrauchen.

Edit: Das habe ich vergessen $Y_0^0=\sqrt{1/4\pi}$ . Setzen Sie dies in den ersten Term ein und massieren Sie die zu erhaltenden Koeffizienten $R_{nl}$ 's für beide Begriffe ermöglicht eine Darstellung von $\Psi$ in Bezug auf Wasserstoff $\psi_{nlm}$ Wellenfunktionen.

Nick D

Verwenden Sie die Orthonormalität der sphärischen Harmonischen. Das wird sechs Kreuzbegriffe beseitigen und drei weitere vereinfachen. Sie können vier weitere Begriffe loswerden, weil die

ϕ

$\phi$ Integral einer sphärischen Harmonischen mit

m \neq 0

$m\ne 0$ verschwindet. Damit bleiben drei Integrale auszuwerten, von denen zwei unabhängig sind

θ

$\theta$ Und

ϕ

$\phi$ und der andere ist ein einfacher über den Winkeln; Damit bleiben nur die r-Integrationen übrig, die ebenfalls einfach sind.

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Verwenden Sie die Orthonormalität der sphärischen Harmonischen. Das wird sechs Kreuzbegriffe beseitigen und drei weitere vereinfachen. Sie können vier weitere Begriffe loswerden, weil die $\phi$ Integral einer sphärischen Harmonischen mit $m\ne 0$ verschwindet. Damit bleiben drei Integrale auszuwerten, von denen zwei unabhängig sind $\theta$ Und $\phi$ und der andere ist ein einfacher über den Winkeln; Damit bleiben nur die r-Integrationen übrig, die ebenfalls einfach sind.

ZeroTheHero · Answer 1

Die Orthogonalität der sphärischen Harmonischen eliminiert die Kreuzterme: $\int d\Omega Y_{\ell m}Y_{\ell m'}^* =\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}$ so Ihren Begriff mit sphärischen Harmonischen, auf $\int d\Omega$ , werde dir geben $9\vert A\vert^2 r^2 e^{-r/a}/a^2$ .

Sie sind schnell mit verlassen

\frac{8}{A^{3}} \int_{0}^{\infty} D R R^{2} (e^{- 2 A / R} + | A |^{2} \frac{R^{2}}{A^{2}} e^{- R / A} 9)

$\frac{8}{a^3} \int_0^\infty dr\, r^2 \left(e^{-2a/r} + \vert A\vert^2 \frac{r^2}{a^2}e^{-r/a}9 \right)$ bei dem die

1 / 4 π

$1/4\pi$ Faktor wurde mit eliminiert

\int d Ω = 4 π

$\int d\Omega=4\pi$ . Der Rest in partieller Integration.

Bearbeiten Diese Frage hat bereits Ihre $\psi$ in der Form

ψ (R, θ, ϕ) = \sum_{N ℓ M} C_{N ℓ M} ψ_{N ℓ M} (R, θ, ϕ)

$\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{n\ell m}c_{n\ell m} \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)$ Normalisierung läuft also darauf hinaus, dies zu verifizieren

\sum_{n ℓ m} | c_{n ℓ m} |^{2} = 1

$\sum_{n\ell m}\vert c_{n\ell m}\vert^2=1$ seit den Lösungen

ψ_{n ℓ m} (r, θ, ϕ)

$\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)$ sind orthogonal unter Integration

Sakhan · Answer 2

Multiplizieren Sie dies mit seinem komplexen Konjugat derselben Funktion und integrieren Sie über den gesamten Raum ( $r\theta$ Und $\phi$ ). Verwendung der Normalisierungseigenschaft von sphärischen Harmonischen und Durchführung der Integration von $r$ Koordinaten $0$ Zu $∞$ .

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Chase Hill

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ZeroTheHero

Sakhan

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