Warum müssen Wellenfunktionen normiert werden? Warum sind die nicht von vornherein normalisiert? [Duplikat]

Bevor ich anfing, Quantenmechanik zu studieren, dachte ich, ich wüsste, was Normalisierung ist. Ich ziehe einfach Google ab, hier ist eine Definition, die dem entspricht, was ich unter Normalisierung verstehe:

Normalisierung – um (eine Reihe, Funktion oder ein Datenelement) mit einem Faktor zu multiplizieren, der die Norm oder eine damit verbundene Größe, wie z. B. ein Integral, gleich einem gewünschten Wert (normalerweise 1) macht.

Meistens habe ich eine Normalisierung gesehen, die sich auf 1 oder 100 % oder so ähnlich normalisiert. Ist zum Beispiel die Angabe von Prozentsätzen nicht eine Art Normalisierung? Wenn ich an einem Quiz teilnehme und 24/25 Punkte bekomme, dann „normalisiere“ ich das, indem ich sage, dass ich 96 % erreicht habe. So habe ich Normalisierung verstanden.

Warum ich jetzt verwirrt bin

Seit ich angefangen habe, Quantenmechanik zu studieren, verwirrt mich der Begriff Normalisierung. Lassen Sie mich diesen Abschnitt von Griffiths zitieren, um ein Beispiel dafür zu veranschaulichen, wie er den Begriff verwendet:

Wir kehren nun zur statistischen Interpretation der Wellenfunktion zurück, die das sagt$|\Psi(x,t)|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden des Teilchens an diesem Punkt$x$, zum Zeitpunkt$t$. Daraus folgt, dass das Integral von$|\Psi|^2$muss 1 sein (das Teilchen muss irgendwo sein .

$$\begin{equation} \int^{+\infty}_{-\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1 \end{equation}$$ Ohne dies wäre die statistische Interpretation unsinnig.

Diese Forderung sollte Sie jedoch stören: Schließlich soll die Wellenfunktion durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt sein – wir können ihr keine Nebenbedingung auferlegen$\Psi$ohne zu überprüfen, ob die beiden konsistent sind. Nun, ein Blick auf [die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung] zeigt, dass wenn$\Psi(x,t)$ist eine Lösung, so ist es auch$A\Psi(x,t)$, Wo$A$eine beliebige (komplexe) Konstante ist. Was wir also tun müssen, ist diesen unbestimmten multiplikativen Faktor auszuwählen, um sicherzustellen$\int^{+\infty}_{-\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1$ist befriedigt. Dieser Vorgang wird Normalisierung der Wellenfunktion genannt.

Ich habe die Idee, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung brauchen$\rho$über den gesamten Positionsraum 1 sein. Das macht Sinn und ist offensichtlich. Das Integral macht also Sinn. Aber ein paar Dinge verstehe ich nicht:

1. Wie war die Wellenfunktion vor der Normalisierung? Warum musste es überhaupt normalisiert werden? Um meine Quiz-Analogie zu verwenden, warum sollte der Test nicht mit 100 Punkten beginnen, was in diesem Fall keine Normalisierung erforderlich machen würde. 96 % wären 96 Punkte.
2. Warum wenn$\Psi(x,t)$ist eine Lösung, so ist es auch$A\Psi(x,t)$?

Vielleicht könnte eine Antwort kommentieren, wie sich meine anfängliche Definition der Normalisierung auf die Normalisierung der Wellenfunktion bezieht. Wenn Sie gerne schreiben, wäre es großartig, ein oder zwei Kommentare zur Dirac-Normalisierung hinzuzufügen.