Wellenpakete, die die Schrödinger-Gleichung nicht erfüllen?

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung eines freien Teilchens in 1 Dimension ist

$$\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x\psi(x) = E\psi(x) \end{equation}$$ die Lösungen in Form von hat$e^{ikx}$, Wo$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$Und$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$.

Jede Superposition dieser Funktionen muss sozusagen auch eine Lösung der Schrödinger-Gleichung sein

$$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}.$$

Dann erwarten wir das$\partial_x^2\psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$hält noch. Jedoch,

$$\partial_x^2\psi(x) = \partial_x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \partial_x^2 \phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx}$$ .

Die Schrödinger-Gleichung impliziert das also

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}$$ Das ist, $$\int\limits_{\infty}^{\infty}dk k^2\phi(k)e^{ikx} = \frac{2mE}{\hbar^2}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)e^{ikx},$$ für beliebige Funktionen$\phi(k)$. Bedeutet dies, dass Wellenpakete die Schrödinger-Gleichung nicht erfüllen?