Vollständige Lösung der Wellenfunktion für das Teilchen-in-einer-Box-Problem

Der "reale" Zustand des Teilchens hängt vollständig von den Anfangsbedingungen der Wellenfunktion ab. Und während Sie nach dem Partikel in einer Box fragen, kann diese Antwort auf so ziemlich jedes Intro-QM-Problem angewendet werden. Da Sie sich nicht speziell mit dem Partikel in einer Box befasst haben, werde ich auch auf der allgemeineren Seite bleiben.

Die Formel, die Sie gegeben haben$\Psi(x,t)=\sum \alpha _n \psi _n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ist die allgemeine Lösung für dieses Problem, wo$\psi _n(x)$sind die Eigenfunktionen des Hamiltonian$\hat H$. Ohne weitere Informationen kann man das eigentlich nur sagen.

Wenn wir die anfängliche Wellenfunktion kennen, dann können wir diese Wellenfunktion in der Eigenbasis ausdrücken

$$\psi(x,t=0)=\psi_0=\sum \beta_n \psi_n(x)$$

Wo

$$\beta_n=\int \psi_0^*\space \psi_n(x)dx$$

Es sieht etwas ärgerlich aus, an unendliche Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit für alle zu denken, und diese Wahrscheinlichkeiten beschränken sich auf die Summe von eins ...

Die Wahrscheinlichkeit, unser Teilchen im Zustand zu messen$n$wird von gegeben$|\beta_n|^2$Vorausgesetzt, alles ist normalisiert. Das bedeutet nicht, dass alle diese Wahrscheinlichkeiten gleich sind (d. h. es ist nicht wahr, dass$\beta_1=\beta_2=\beta_3=...$). Auch die Einschränkung, dass diese alle gleich sind$1$wird benötigt, damit das, was wir unter Wahrscheinlichkeit verstehen, tatsächlich Sinn macht. Wir können unendliche Summen ungleicher Terme haben, deren Summe sich nähert$1$. Ärgerlich würde ich es kaum nennen. Es ist äußerst nützlich, und ich finde es auch ziemlich cool, dass wir eine Vielzahl von Funktionen auf die gleiche Weise beschreiben können: eine unendliche Summe von Eigenfunktionen.

Die Werte der$\alpha_n$hängen von den Anfangsbedingungen für eine bestimmte Wellenfunktion ab. Wenn Sie die vorbereiten$n=1$Energie Eigenzustand$\psi_1$(oder messen Sie die Energie eines Zustands und finden Sie ihn heraus$E_1$), Dann$\alpha_1=1$und alle anderen sind für alle Zeiten Null (das liegt daran, dass die$\psi_n$bilden eine diagonale vollständige Basis für den Hamiltonoperator und sind daher stationäre Zustände).

Wenn Sie einen anderen willkürlichen Zustand mit Wellenfunktion vorbereiten$\phi(x)$, dann ist die$\alpha_n$werden durch die Überlappung zwischen bestimmt$\phi$Und$\psi_n$, da die Energieeigenzustände eine Basis bilden:

$$|\phi\rangle=\sum_{n=1}^\infty\langle\psi_n|\phi\rangle|\psi_n\rangle\equiv\sum_{n=1}^\infty\alpha_n|\psi_n\rangle$$

und deshalb:

$$\alpha_n=\langle\psi_n|\phi\rangle=\int\langle\psi_n|x\rangle\langle x|\phi\rangle \;dx\equiv\int\psi_n^*(x)\phi(x)\;dx$$

was funktioniert, weil die Position besagt$\{|x\rangle\}$bilden eine durchgehende Gesamtbasis.