Sind trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung immer vollständig?

Dieses Ergebnis wird als Spektraltheorem bezeichnet . Für einen endlichdimensionalen Hilbertraum$\mathscr H$, die Aussage ist, dass bei jedem Selbstadjungierten$^\ddagger$Operator$H$, gibt es eine orthonormale Basis$\{\hat e_i\}$bestehend aus Eigenvektoren von$H$, und dass alle zugehörigen Eigenwerte reell sind.

Der Beweis dieser Aussage geht wie folgt.

1. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt$\mathrm{det}(H-\lambda \mathbb I)=0$hat mindestens eine Lösung - sagen wir,$\lambda_1$. Dies impliziert, dass mindestens ein Nicht-Null-Vektor existiert$\hat e_1$(die wir der Einfachheit halber normalisieren) so dass$(H-\lambda_1 \mathbb I) \hat e_1 = 0 \iff H\hat e_1 = \lambda_1 \hat e_1.$
2. Weil$H$selbstadjungiert ist, haben wir $$\lambda_1 = \langle \hat e_1,H\hat e_1\rangle = \langle H \hat e_1 ,\hat e_1 \rangle = \overline{\lambda_1} \implies \lambda_1\in \mathbb R$$
3. Lassen$\{\hat e_1\}^\perp$das orthogonale Komplement von bezeichnen$\hat e_1$- das heißt, die Menge aller Vektoren$v\in\mathscr H$so dass$\langle \hat e_1,v\rangle = 0$. Weil$H$selbstadjungiert ist, haben wir das $$\langle \hat e_1,Hv\rangle = \langle H\hat e_1,v\rangle = \lambda_1 \langle \hat e_1,v\rangle = 0 \implies Hv \in \{\hat e_1\}^\perp$$ Das sagen wir$\{\hat e_1\}^\perp$ist invariant unter der Wirkung von$H$. Als Ergebnis, wenn wir lassen$\hat e_1$sei dann das erste Element unserer orthonormalen Basis$H$nimmt die Gestalt an $$H = \pmatrix{\lambda_1 & \matrix{0 &\cdots&0}\\\matrix{0\\\vdots\\ 0} & H'}$$ Wo$H'$ist ein$(n-1)\times (n-1)$-dimensionale selbstadjungierte Matrix. Dieser Vorgang kann z$H'$und so weiter, was schließlich eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen und der behaupteten Basis von Eigenvektoren ergibt.

Für einen unendlichdimensionalen Hilbertraum$\mathcal H$, diese Situation wird komplizierter, weil das Spektrum$\sigma$eines beliebigen Operators kann aus diskreten Punkten bestehen (Punktspektrum genannt ,$\sigma_p$) sowie ein Kontinuum (genannt kontinuierliches Spektrum,$\sigma_c$).

Wenn das Spektrum von$H$ist reiner Punkt (so$\sigma_c = \emptyset$), dann ähnelt der Beweis im Geiste dem endlichdimensionalen Fall, aber es gibt technische Besonderheiten, die ins Spiel kommen, wenn$H$ist nicht begrenzt; Trotzdem ist die Schlussfolgerung die gleiche, außer dass die fragliche Basis keine endliche Anzahl von Elementen hat. Wenn das Spektrum von$H$enthält einen kontinuierlichen Teil, dann ergeben sich noch mehr technische Details, und die volle Maschinerie der Funktionsanalyse ist erforderlich; in der Physik entspricht dies operativ dem Auftreten von nicht normierbaren (oder verallgemeinerten ) Eigenzuständen, wie sie für den Hamilton-Operator für freie Teilchen auftreten$H:= \frac{\hat P^2}{2m}$.

$^\ddagger$Das lässt sich leicht zeigen, wenn$H\neq H^\dagger$Aber$[H,H^\dagger]=0$, Dann$H=A + i B$Wo$A,B$sind kommutierende selbstadjungierte Operatoren. Das erlaubt uns, diesen Beweis auf sogenannte Normaloperatoren zu verallgemeinern , und das einzige, was sich ändert, ist das Spektrum von$H$kann komplex sein.