Physikalische Bedeutung der linearen Kombination möglicher Zustände im unendlichen Brunnen

Question

Physikalische Bedeutung der linearen Kombination möglicher Zustände im unendlichen Brunnen

eine Frage

Die Lösung von unendlich gut positioniert aus $x=0$ $x=l$ , Ist

Ψ_{N} (X, T) = \sqrt{\frac{2}{l}} Sünde (\frac{N π}{l} X) e^{ich E_{N} T}

$\Psi_n(x,t)= \sqrt{\frac{2}{l}}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)e^{iE_nt}$ Aber die allgemeinste Lösung dieses Problems ist:

Ψ (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} \sqrt{\frac{2}{l}} Sünde (\frac{N π}{l} X) e^{ich E_{N} T}

$\Psi(x,t)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} C_n\sqrt{\frac{2}{l}}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)e^{iE_nt}$ Und

Ψ (X, 0) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} Ψ_{N} (X, 0)

$\Psi(x,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi_n(x,0)$ Wenn ich alle möglichen Zustände linear aufsummiere, erhalte ich die allgemeine Lösung. Aber was bedeutet es physikalisch? Bedeutet die Summierung, dass alle möglichen Zustände ein Wellenpaket im Brunnen bilden?

Eigentlich kann ich noch weiter gehen und das mit der Fourier-Transformation zeigen (ich werde es in Kürze sagen $\Psi(x)$ für $\Psi(x,0)$ )

\int Ψ (X) = \sum_{N = 1}^{\infty} \int C_{N} Ψ_{N} (X)

$\int\Psi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \int C_n\Psi_n(x)$

\int Ψ_{M} (X)^{*} Ψ (X) D X = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} \int Ψ_{M} (X)^{*} Ψ_{N} (X) D X

$\int \Psi_m(x)^*\Psi(x)dx = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} C_n\int \Psi_m(x)^*\Psi_n(x)dx$

\int Ψ_{M} (X)^{*} Ψ_{N} (X) D X = δ_{M N}

$\int \Psi_m(x)^*\Psi_n(x)dx =\delta_{mn}$

\int Ψ_{M} (X)^{*} Ψ (X) D X = C_{M}

$\int \Psi_m(x)^*\Psi(x)dx = C_m$ Diese Gleichung ergibt für mich nicht viel Sinn. Integriert man einen Energie-Eigenzustand in den Allgemeinzustand, erhält man die Wahrscheinlichkeit dieses Eigenzustands, wenn man das Quadrat der Konstante nimmt

C_{m}

$C_m$ . Warum?

Antworten (4)

Physikalische Bedeutung der linearen Kombination möglicher Zustände im unendlichen Brunnen

Martin Green · Answer 1

Martin Green

Es wurden drei Antworten gepostet, aber bisher hat niemand die offensichtliche physikalische Interpretation gepostet. Bei allen Energie-Eigenzuständen ist das Teilchen zeitlich stationär innerhalb des Kastens verteilt. Wenn Sie möchten, dass das Teilchen zwischen den Wänden der Box hin und her springt, tun Sie dies, indem Sie Eigenzustände kombinieren. Der einfachste Fall besteht darin, nur den Grund mit dem ersten angeregten Zustand zu mischen. Wenn Sie sich die resultierende Funktion genau ansehen, sollten Sie sehen, dass sie zwischen der linken und rechten Seite der Box hin und her springt.

In diesem Beispiel ist die Wellenfunktion zu keinem Zeitpunkt sehr genau lokalisiert, aber wenn Sie es besser machen wollen, fügen Sie einfach mehr Eigenzustände hinzu.

eine Frage

Wenn ich alle möglichen Zustände mit summiere

n = 1, 2, 3...

$n=1,2,3...$ Ich sollte etw so bekommen! Bitte ignorieren Sie die Grenzen und dies unterstützt in der Tat meine Wellenpaketannahme.

Martin Green

Sie gehen davon aus, dass Sie sie alle in Phase in der Mitte der Box und mit gleichen Amplituden hinzufügen. Ja, Sie bekommen in diesem Moment ein Wellenpaket, aber ich glaube nicht, dass es zusammenhält ... Ich glaube, es ist über die ganze Kiste explodiert. Ich bin mir nicht sicher, ob es so einfach ist, kohärente Pakete zu erhalten, die zusammenhalten, wie die, die Sie im harmonischen Oszillatorpotential erzeugen können.

eine Frage

Ich gehe davon aus, dass alle Amplituden gleich sind. Sie haben Recht, tatsächlich scheint es mit unterschiedlichen Amplituden anders zu sein, aber ich bin mir jetzt nicht sicher. Aber ist es nicht logisch, die Amplituden festzulegen, zB wenn Sie in einem Brunnen stecken bleiben?

x = 0

$x=0$ Zu

x = l = 2

$x=l=2$ ?

Martin Green

Die Amplituden bleiben zeitlich nicht fixiert. Sie müssen an das einfache Beispiel denken, das ich gegeben habe, wo Sie nur die Grundfunktion und den ersten angeregten Zustand mischen. Da das Elektron hin und her springt, strahlt es. Es verliert also Energie. Die Amplitude "läuft" vom angeregten Zustand in den Grundzustand, bis sie schließlich aufhört, sich zu bewegen. Es ist genau dasselbe, was mit einem Wasserstoffatom in einer Überlagerung des Grundzustands (1s) und des ersten angeregten Zustands (2p) passiert.

Martin Green

Und vergessen Sie nicht, dass alle Zustände, die Sie zusammenmischen, eine Zeitkomponente haben ... sie werden mit exp(jwt) multipliziert, wobei w vom Energieniveau abhängt. Das Muster ändert sich also mit der Zeit, wenn sich die relativen Phasen relativ zueinander bewegen.

Sofia · Answer 2

Die physikalische Bedeutung der Überlagerung

$\Psi(x, 0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi_n(x, 0), \ \ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|C_n|^2 = 1$ ,

erscheint, wenn Sie Energien messen . Bei einer Energiemessung des Teilchens in der Vertiefung, $|C_n|^2$ ist die Wahrscheinlichkeit, die Energie zu finden $E_n$ .

Zur Verdeutlichung schlage ich eine leichte Änderung der Notation der Eigenzustände vor,

$\Psi(x, 0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi(x,0; E_n)$ .

Angenommen, Sie haben ein Verfahren, um die Energie des Teilchens in der Vertiefung zu messen, dh Sie "verschränken" das Teilchen in der Vertiefung mit einem anderen Teilchen $M$ das kann gut rauskommen, st der zustand beider teilchen sein

$\Psi(x,y,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi(x,0; E_n) \Phi(y; V_n)$ ,

Wo $V_n$ ist eine Eigenschaft des Teilchens $M$ die von einem Gerät erfasst werden können, dh das Gerät kann einen der Werte melden $V_1, V_2, V_3, . . .$ . Wenn das Gerät den Wert gemeldet hat $V_n$ , dann schließen wir, dass das Teilchen in der Vertiefung die Energie hatte $E_n$ .

Dann durch mehrmaliges Wiederholen der Messung, jedes Mal mit einem anderen Partikel in der Vertiefung und einem anderen Partikel $M$ , zeigt das Gerät an $V_n$ , dh die Energie $E_n$ , mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand $\Psi(x,0; E_n)$ erscheint in $\Psi(x, 0)$ , und das ist $|C_n|^2$ .

Zu deiner letzten Frage, $C_m$ ist die Amplitude der Wahrscheinlichkeit , den Zustand zu finden $\Psi(x,0; E_n)$ erscheint in $\Psi(x, 0)$ , und die Wahrscheinlichkeit ist das absolute Quadrat der Amplitude. Das ist der Formalismus des QM.

Eric Winkel · Answer 3

Jeder der stationären Zustände $\Psi_n$ ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung mit bestimmter Energie $E_n$ , und da die Schrödinger-Gleichung linear ist, eine Linearkombination $\sum_n C_n \Psi_n$ ist auch eine Lösung.

Was bedeutet das physikalisch ? Dass sich das Teilchen nicht in einem Zustand bestimmter Energie befindet (es sei denn, der Anfangszustand $\Psi\left(x,0\right)$ ist zufällig einer der $\Psi_n$ ).

Der Anfangszustand $\Psi\left(x,0\right)$ ist das bestimmende $C_n$ , wie du gezeigt hast. Wenn es irgendwelche Verwirrung über den Berechnungsprozess gibt $C_n$ , ist es analog zu dem folgenden Problem.

Nehmen wir an, ich sage Ihnen, dass ein Vektor ${\bf V}$ ist eine Linearkombination einiger kartesischer Basisvektoren $\hat{\bf e}_n$ , analog zu den stationären Zuständen $\Psi_n$ . Das ist, ${\bf V} = \sum_n C_n \hat{\bf e}_n$ . Bestimmen $C_n$ verwenden Sie die Orthonormalität der Basisvektoren $\hat{\bf e}_n \cdot \hat{\bf e}_m = \delta_{nm}$ , analog zu $\int dx \Psi^*_m \Psi_n = \delta_{nm}$ :

v \cdot {\hat{e}}_{N} = (\sum_{M} C_{M} {\hat{e}}_{M}) \cdot {\hat{e}}_{N} = \sum_{M} C_{M} δ_{M N} = C_{N}

${\bf V} \cdot \hat{\bf e}_n = \left(\sum_m C_m \hat{\bf e}_m\right) \cdot \hat{\bf e}_n = \sum_m C_m \delta_{mn} = C_n$ Wenn ich es dir sage

V \cdot {\hat{e}}_{n}

${\bf V} \cdot \hat{\bf e}_n$ , analog zur Angabe

Ψ (x, 0)

$\Psi\left(x,0\right)$ , dann kannst du das berechnen

C_{n}

$C_n$ S.

Warum tut $\lvert C_n\rvert^2$ Geben Sie dann die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens an $E_n$ Wann wird die Energie gemessen? Dieser Artikel könnte helfen.

Omar Azooz · Answer 4

Es gibt viele physikalische Bedeutungen, die nicht in der Quantenmechanik liegen, aber ihr analog sind. Zum Beispiel wird in der Mikrowellentheorie, wo Wellenleiter verwendet werden, die Welle in einer Box gefangen. Analog wird ein unendlicher Schacht für Elektron und die elektromagnetische Welle im Wellenleiter nicht mehr transversal-elektromagnetisch, sondern transversal-magnetisch, wo Bereichsfrequenzen und Wellenlängen nur in Abhängigkeit von den Abmessungen des Wellenleiters passieren. Wo es viele unendliche Moden gibt, die Frequenzbereiche tragen, abhängig von der Abmessung des Wellenleiters.

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