So berechnen Sie die Schwingungsfrequenz von Überlagerungszuständen [geschlossen]

Ja, Sie multiplizieren jeden der überlagerten Zustände (Energie-Eigenzustände) mit ihrer Zeitentwicklung als

$$\Phi(x,t) = \phi_n(x)e^{i E_n t/\hbar} + \phi_{n+1}(x)e^{i E_{n+1} t/\hbar}$$

Hier$\phi_n(x)$ist der erste Zustand und$\phi_{n+1}(x)$ist der zweite.

Was die Häufigkeit dieses Zustands betrifft, versuchen Sie, ihn zu schreiben als

$$\Phi(x,t) = e^{i \omega t} \left(\phi_n(x) + e^{-i2 \pi\nu t}\phi_{n+1}(x) \right)$$ Wo $\omega$ist etwas konstantes und $\nu$sollte sein $\nu=\frac{(2n+1)\hbar}{4\pi m L^2}$. Sehen Sie, dass dieser Zustand ein Dichteprofil haben wird, das mit der Frequenz oszilliert? $\nu$? Wenn nicht, versuchen Sie, das absolute Quadrat von zu berechnen $\Phi(x,t)$.

Um die Frequenz zu berechnen$\nu$Sie müssen die Energie kennen$E_n$Und$E_{n+1}$. Aus der Form der Lösungen geht hervor, dass Sie ein Teilchen in einem Kasten betrachten. In diesem Fall ist die Energie

$$E_n=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}.$$ Beachten Sie, dass der Unterschied in der Energie ist $$E_{n+1}-E_{n}=\frac{\hbar^2\pi^2((n+1)^2-n^2)}{2mL^2}=\frac{\hbar^2\pi^2(2n-1)}{2mL^2}=\frac{2\pi^3}{\hbar}\nu$$ Die gesuchte Frequenz ist also proportional zur Energiedifferenz der beiden Zustände.