Partielle Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte (quadratischer Betrag der Wellenfunktion) nach Position (1D)?

Question

Partielle Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte (quadratischer Betrag der Wellenfunktion) nach Position (1D)?

Tuschar Rakheja

Hier ist ein Ausschnitt aus der Einführung in die Quantenmechanik von David Griffiths (Abschnitt 1.5):

Ich verstehe, wie wir die Schrödinger-Gleichung verwendet haben, um von einem zeitlichen Teilton zu einem doppelten Teilton in Position zu gelangen. Aber warum gibt es eine $-$ Zeichen in den Klammern? Sollte es nicht eine geben $+$ stattdessen seit

$\Large \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial x} = \frac{\partial (\Psi^*\Psi)}{\partial x} = \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\ +\ \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi$

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Partielle Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte (quadratischer Betrag der Wellenfunktion) nach Position (1D)?

Prof. Legolasov · Answer 1

Sie sollten versuchen, dies auf einem Blatt Papier zu lösen. Ich glaube nicht, dass Sie richtig verstehen, wie der Autor abgeht $\partial/\partial t$ Zu $\partial^2/\partial^2 x$ . Sie können die Schrödinger-Gleichung nicht verwenden $|\Psi|^2$ , es gilt nur für $\Psi(x, t)$ :

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} Ψ (X, T) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, T) .

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t) = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x, t).$

Für $\Psi^*$ Es gilt eine andere Gleichung, die durch Konjugieren beider Seiten der Schrödinger-Gleichung erhalten werden kann:

- ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} Ψ^{*} (X, T) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ^{*} (X, T) .

$- i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi^*(x, t) = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi^*(x, t).$

Beachten Sie das Minuszeichen auf der linken Seite. Es kommt von der Konjugation einer imaginären Einheit ( $i^* = -i$ ). Dieses Minuszeichen ist für das Minuszeichen in Ihrer Antwort verantwortlich.

Jetzt vertraue ich darauf, dass Sie beide Teile Ihrer Gleichung sorgfältig erweitern und selbst sehen, dass sie tatsächlich gleich sind.

Ach ich verstehe! Also erweitern wir zuerst das Partial in der Zeit unter Verwendung der Produktregel und verwenden dann die Schrödinger-Gleichung, ja?
@TusharRakheja Genau. Hast du deine Formel schon bewiesen? :) Ich schlage vor, Sie beenden dies, es würde Ihnen in Zukunft offensichtlich helfen.

Partielle Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte (quadratischer Betrag der Wellenfunktion) nach Position (1D)?

Tuschar Rakheja

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