Erwartungswert von p2p2p^2 Coming Out Komplex [geschlossen]

Ich habe die Wellenfunktion

$$\Psi(x,t) = \frac{e^{-x^2/4(a^2+i\hbar t/2m)}}{\sqrt[4]{2\pi}\sqrt{a+i\hbar t/2ma}}$$

und versuche, den Erwartungswert von zu finden$p^2$. Also vereinfache ich die Dinge ein wenig durch die Einstellung

$$\Psi(x,t) = \frac{e^{-x^2/4(a^2+i\hbar t/2m)}}{\sqrt[4]{2\pi}\sqrt{a+i\hbar t/2ma}} = \frac{e^{-x^2/A}}{B},$$

und dann das Integral auswerten$\int_{-\infty}^{\infty} dx\ \Psi^*(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})\Psi$, und vereinfachend bekomme ich

$$\frac{2\hbar^2}{|A|^2|B|^2}\frac{\sqrt{\pi}|A|\operatorname{Im}(A)\color{red}{iA^*}}{[\operatorname{Re}(A)]^{3/2}}$$

Bevor Sie sogar meine Ausdrücke für einstecken$A$Und$B$Ich sehe etwas falsch: Dies ist der Erwartungswert einer Observable und sollte daher real sein. Aber alle Zahlen in diesem letzten Ausdruck sind reell, außer dem Teil in Rot, der komplex sein wird. Somit habe ich einen Fehler gemacht.

Ich kann keinen Fehler in meinen Berechnungen erkennen. Kann jemand sehen, wo ich hier falsch liege?

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Bearbeiten: Folgendes habe ich getan, um diese Antwort zu erhalten:

$$\begin{gather}\frac{\partial}{\partial x}\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \frac{-2x}{A}\frac{e^{-x^2/A}}{B} \\ \implies \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \left[\frac{-2}{A}+\frac{4x^2}{A^2}\right]\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \frac{-2}{A}\left[1-\frac{2x^2}{A}\right]\frac{e^{-x^2/A}}{B} \\ \implies \hat p\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \frac{2\hbar^2}{A}\left[1-\frac{2x^2}{A}\right]\frac{e^{-x^2/A}}{B} \\ \implies \frac{e^{-x^2/A^*}}{B^*}\hat p\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \frac{e^{-x^2/A^*}}{B^*}\frac{2\hbar^2}{A}\left[1-\frac{2x^2}{A}\right]\frac{e^{-x^2/A}}{B} = \frac{2\hbar^2}{A|B|^2}\left[1-\frac{2x^2}{A}\right]e^{-x^2(\frac 1A+\frac 1{A^*})}\end{gather}$$

Dann benutze ich Mathematica zum Rechnen

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\ \left[1-\frac{2x^2}{A}\right]e^{-x^2\operatorname{Re}(A)/|A|^2} = \frac{\sqrt{\pi}|A|(A-\operatorname{Re}(A))}{\operatorname{Re}(A)^{3/2}}$$

Von dort multipliziere ich die "Konstante" wieder hinein und ordne sie neu an:

$$\frac{2\hbar^2}{A|B|^2}\frac{\sqrt{\pi}|A|(A-\operatorname{Re}(A))}{\operatorname{Re}(A)^{3/2}} = \frac{2\hbar^2}{A|B|^2}\frac{\sqrt{\pi}|A|(i\operatorname{Im}(A))}{\operatorname{Re}(A)^{3/2}}\frac{A^*}{A^*} = \frac{2\hbar^2}{|A|^2|B|^2}\frac{\sqrt{\pi}|A|\operatorname{Im}(A)iA^*}{\operatorname{Re}(A)^{3/2}}$$