Berechnung des Erwartungswerts eines Hamiltonoperators

Question

Berechnung des Erwartungswerts eines Hamiltonoperators

Jesse

Ich möchte den Erwartungswert eines Hamiltonoperators berechnen. Ich habe eine Wellenfunktion, das ist
$ψ = \frac{1}{\sqrt{5}} (1 ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) .$ $\psi = \frac{1}{\sqrt{5}}(1\phi_1 + 2\phi_2).$

Ich möchte wissen, ob ich das richtig eingestellt habe. Der Hamiltonian ist $\hat H \left(x, \frac{\hbar \partial^2}{2m\partial x^2}\right)$ . Um einen Erwartungswert zu erhalten, muss ich dies integrieren:

\int ψ^{*} \hat{H} ψ D X .

$\int \psi^* \hat H \psi dx.$

Da die Wellenfunktionen normiert und real sind, kann ich mitgehen $\psi^* = \psi$ .

OK, also habe ich das Integral zusammengesetzt.

\int \frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) \frac{ℏ}{2 M} \frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ_{1}^{″} + ϕ_{2}^{″}) D X = \frac{ℏ}{2 M} \frac{1}{5} \int (ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) (ϕ_{1}^{″} + 2 ϕ_{2}^{″}) D X,

$\int \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi_1 + 2\phi_2)\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi_1'' + \phi_2'') dx=\frac{\hbar}{2m}\frac{1}5\int(\phi_1 + 2\phi_2)(\phi_1'' + 2\phi_2'')dx,$

und ich kenne die Wellenfunktion für

ϕ_{N} = \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{N π X}{L})

$\phi_n = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ So

ϕ_{1} = \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{π X}{L})

$\phi_1 = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$ Und

ϕ_{2} = \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{2 π X}{L}) .

$\phi_2 = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right).$

Ich kann diese einstecken und das Integral machen, und ich wollte überprüfen, ob das das Richtige war. Ich vermute jedoch, dass es eine einfachere Methode gibt. Aber wenn das funktioniert, kann ich sagen: "Großartig, ich verstehe das zumindest genug, um das Problem zu lösen."

BMS

Kann Jesse oder jemand anderes die Notation für den Hamiltonian erklären? Ist

\hat{H} = (\dots, \dots)

$\hat H = (\ldots,\ldots)$ sein sollen

\hat{H} = \hat{H} (\dots, \dots)

$\hat H = \hat H (\ldots,\ldots)$ ?

Jesse

Es sollte ohne das Zeichen = sein. Behoben.

sicher

Verwenden Sie die Fakten: 1.

ϕ_{1}

$\phi_1$ Und

ϕ_{2}

$\phi_2$ sind Eigenzustände von

H

$H$ und 2. Sie sind orthogonal, da ihre Eigenwerte verschieden sind. Es sind keine expliziten Berechnungen von Integralen erforderlich.

Jesse

Bedeutet das das

ϕ_{1} ϕ_{2}^{″}

$\phi_1\phi_2''$ ist zum Beispiel Null? Ich habe gesehen, dass das auf Null geht, als ich die Integration gemacht habe ...

Antworten (1)

Berechnung des Erwartungswerts eines Hamiltonoperators

Kann Jesse oder jemand anderes die Notation für den Hamiltonian erklären? Ist $\hat H = (\ldots,\ldots)$ sein sollen $\hat H = \hat H (\ldots,\ldots)$ ?
Verwenden Sie die Fakten: 1. $\phi_1$ Und $\phi_2$ sind Eigenzustände von $H$ und 2. Sie sind orthogonal, da ihre Eigenwerte verschieden sind. Es sind keine expliziten Berechnungen von Integralen erforderlich.
Bedeutet das das $\phi_1\phi_2''$ ist zum Beispiel Null? Ich habe gesehen, dass das auf Null geht, als ich die Integration gemacht habe ...

gj255 · Answer 1

Hier also der abstrakte Ansatz:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} (⟨ ϕ_{1} | H | ϕ_{1} ⟩ + 2 ⟨ ϕ_{1} | H | ϕ_{2} ⟩ + 2 ⟨ ϕ_{2} | H | ϕ_{1} ⟩ + 4 ⟨ ϕ_{2} | H | ϕ_{2} ⟩) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( \langle \phi_1 | H | \phi_1 \rangle + 2\langle \phi_1 | H | \phi_2 \rangle + 2\langle \phi_2 | H | \phi_1 \rangle + 4 \langle \phi_2 | H | \phi_2 \rangle \bigg) \,.$

Jetzt weißt du das $H|\phi_1\rangle = E_1 |\phi_1 \rangle$ Und $H|\phi_2\rangle = E_2 |\phi_2 \rangle$ --- oder besser gesagt, Sie können leicht überprüfen, ob die von Ihnen angegebenen Funktionen tatsächlich Eigenzustände des Hamilton-Operators sind:

\frac{- ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X^{2}} ϕ_{N} = \frac{N^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 M L^{2}} ϕ_{N} \equiv E_{N} ϕ_{N} .

$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \phi_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \phi_n \equiv E_n \phi_n \,.$

Die Funktionen $\phi_n$ sind, wie man nachprüfen kann, auch normiert und orthogonal zueinander - das muss so sein, denn sie sind die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators (mit unterschiedlichen Eigenwerten). Daher wird der obige Ausdruck zu:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} (E_{1} ⟨ ϕ_{1} | ϕ_{1} ⟩ + 2 E_{2} ⟨ ϕ_{1} | ϕ_{2} ⟩ + 2 E_{2} ⟨ ϕ_{2} | ϕ_{1} ⟩ + 4 E_{2} ⟨ ϕ_{2} | ϕ_{2} ⟩) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( E_1\langle \phi_1 | \phi_1 \rangle + 2E_2 \langle \phi_1 | \phi_2 \rangle + 2E_2\langle \phi_2 | \phi_1 \rangle + 4E_2 \langle \phi_2 | \phi_2 \rangle \bigg) \,.$

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} (E_{1} + 4 E_{2}) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( E_1 + 4E_2\bigg) \,.$

Einsetzen in die Form der Energien ergibt:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{17}{5} \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 M L^{2}} .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{17}{5} \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \,.$

Dies ist für mich einfacher als das Berechnen des von Ihnen angegebenen Integrals, obwohl das von Ihnen angegebene Integral korrekt ist (oder fast --- der Hamilton-Operator sollte einen Faktor von haben $\hbar$ quadriert vor der zweiten Ableitung). Wenn Sie versuchen würden, das Integral zu berechnen, würden Sie aufgrund der Orthogonalität der beteiligten Funktionen eine beträchtliche Aufhebung feststellen. Wenn Sie schnell erkennen können, wann ein Integral verschwindet, z.

\int_{0}^{L} \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{π X}{L}) \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{2 π X}{L}) D X = 0

$\int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{\pi x}{L }\right) \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{2\pi x}{L }\right) \,dx = 0$

dann scheint das obige Rezept nicht einfacher zu sein. Aber was die Sauberkeit des Ansatzes angeht, ist es besser, die Orthogonalität der Eigenfunktionen zu zitieren – die ein Ergebnis von zentraler Bedeutung bei dieser Art von Problemen ist und eines, das Sie in jedem einführenden QM-Kurs beweisen werden – bevor Sie sich vertiefen in explizite Berechnungen.

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NB: Ich gehe davon aus, dass Sie die obige Notation vielleicht noch nicht getroffen haben. Es ist nichts dran. Für unsere Zwecke nehmen Sie einfach $\langle \psi | H |\psi \rangle$ meinen

\int ψ^{*} (X) H ψ (X) D X,

$\int \psi^*(x) H \psi(x) \,dx \,,$

woraus Sie sehen sollten, wie die erste Zeile folgt. Die Aussage, dass zwei Funktionen orthogonal sind, beläuft sich auf $\langle \phi_1 | \phi_2 \rangle = 0$ , während die Aussage, dass eine Funktion normiert ist, auf $\langle \phi_1 | \phi_1 \rangle = 1$ .

Danke, ich bin auf die Dirac-Notation gestoßen und konnte sie nie gut handhaben. Seltsamerweise habe ich in meiner endgültigen Antwort eine Antwort von 33/10 erhalten, aber ich vermute, dass es sich um einen Rechenfehler handelt. Aber eigentlich wollte ich nur überprüfen, ob ich nicht zu weit von den Gleisen abgekommen bin. Und das hilft wiederum sehr. Jeder QM-Text springt einfach in Dirac; nur wenige erklären tatsächlich, was die Notation tut. Sogar Profis scheinen einfach davon auszugehen, dass es jeder weiß (magisch, nehme ich an).
Ach übrigens, meine Argumentation dazu $\psi^* = \psi$ (angesichts der Echtheit der Wellenfunktion) ist ok, oder? (Ich weiß, dass es in anderen Fällen nicht so ist ... aber ich weiß auch, dass die Orthogonalität der $\phi$ Funktionen eliminiert eine Menge Zeug).
Ja in der Tat, $\psi = \psi^*$ in diesem Fall. Ich stimme zu, dass die Dirac-Notation oft mit wenig Motivation eingeführt wird. Der Punkt ist folgender: Die Zustände eines quantenmechanischen Systems werden durch Vektoren in einem Vektorraum dargestellt . So wie wir in der klassischen Mechanik ein System durch eine Liste von Teilchenpositionen und -impulsen beschreiben, müssen in der QM die Objekte, die wir zur Beschreibung von Systemen verwenden, einen Vektorraum bilden. Der Grund dafür ist, dass wir in der QM einen Begriff der Überlagerung von Zuständen haben – das heißt, wir dürfen Zustände mit Zahlen multiplizieren und sie addieren. Genau das sind Vektoren.
Vielleicht sind Sie an die Vektorschreibweise gewöhnt $\vec{a}$ oder $\mathbf{a}$ , aber um zu betonen, dass diese Vektoren abstrakter sind – sie sind keine Pfeile im Raum – verwenden wir die Notation $|a\rangle$ . Bestimmte Mengen von Funktionen stellen Vektorräume dar, und Funktionen sind die Objekte, mit denen Sie sich normalerweise früh im QM befassen. Aber im Allgemeinen sind unsere Zustände möglicherweise nicht durch Funktionen beschreibbar; sie sind jedoch immer durch einen Vektor beschreibbar. Daher ist die Dirac-Notation eigentlich nur eine Vektornotation – eine lineare Algebra- Notation –, die dazu da ist, die zugrunde liegende mathematische Struktur der Theorie hervorzuheben.
vielen Dank - ich habe lineare Algebra genommen, aber es waren alles Beweise, wir haben nie etwas mit tatsächlichen Berechnungen gemacht (oder zumindest sehr wenig). Ich fand das problematisch, obwohl ich verstand, warum sie bedeckten, was sie taten.

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