Normalisierung der Wellenfunktion, gegeben durch die Form Aei(kx−wt)Aei(kx−wt)Ae^{i(kx-wt)}

Frage 1.

Nehmen wir an, die Wellenfunktion ist in der Form gegeben

Ψ ( X , T ) = A e ich ( k X − w T )

Dann sollte aufgrund der Normierungsbedingung Folgendes gelten.

∫ Ψ ∗ Ψ D X = A 2 ∫ − ∞ ∞ e − ich ( k X − w T ) × e ich ( k X − w T )   D X = 1

Weil e − ich ( k X − w T ) × e ich ( k X − w T ) = e − ich ( k X − w T ) + ich ( k X − w T ) = 1 , das verlangt die Bedingung

A 2 ∫ − ∞ ∞ D X = 1

Da der Integralwert zu divergiert + ∞ , kommen wir zu dem Schluss, dass A sollte gegen Null konvergieren.

Was ist hier falsch?

Frage 2.

Dies ist eine weitere Frage, die separat klassifiziert und gestellt werden sollte, aber da es sich um eine kurze Frage handelt, werde ich sie hier einfach einfügen. Wenn man die Wellenfunktion als Linearkombination von Basisfunktionen ausdrückt, kommt es vor allem in diskreten Fällen darauf an, dass der Index abweicht − ∞ Zu ∞ ? Das heißt, ist es das

Ψ ( X ) = ∑ − ∞ ∞ C ich ψ ich   ?

Entschuldigung im Voraus, wenn die Fragen trivial sind. Ich bin ein Neuling in der Quantenmechanik.

Antworten (1)

(1) Da ist nichts falsch. Ebene Wellen sind Zustände mit unendlich präzisem Impuls und können im Ortsraum nicht richtig normalisiert werden, da sie von der Heisenberg-Unsicherheit unendlich weit verbreitet sind. In der Praxis helfen sie z. B. im Streumatrix-Formalismus immer noch, eine Amplitude für Reflexion und eine Amplitude für Transmission zu erhalten und z. B. die grundlegende Physik eines Aharonov-Bohm-Rings zu klären, wo die tatsächlichen Längen, um die man sich kümmert, endlich sind.

(2) Du kannst immer und musst es nie. Dazwischen gibt es eine Bijektion Z Und N Wie auch immer Sie die Dinge nummerieren, liegt bei Ihnen. Es gibt einen kleinen Grund, es vorzuziehen N Das heißt, dass eine große Klasse dieser Basiszustände Eigenfunktionen eines Hamilton-Operators sind, der von unten begrenzt ist, und daher gehen diese Eigenwerte unendlich in eine Richtung, aber nicht in die andere.

Danke für die Antwort! Ich habe zwei Fragen im Anschluss an Ihre jeweiligen Antworten. Wird dies für (1) zur Begründung für das Schreiben einer Wellenfunktion in Form einer linearen Kombination in einem unendlich dimensionalen Raum, dh? ∫   D P   C ( P )   Ψ P ( X ) ? Für (2) gilt also die Wahl der Indizes von 1 bis ∞ oder von − ∞ Zu ∞ hängt von meiner Präferenz ab, aber dass die Anzahl der Indizes sowieso unendlich sein sollte ?
(1) Die Schrödinger-Gleichung ist linear, deshalb könnte man Überlagerungen von Wellenfunktionen in Betracht ziehen. Aber ja, es ist in der Physik nichts falsch daran, ein Integral für diese Überlagerung zu verwenden; Wir gehen gerne davon aus, dass die Physik „nett“ ist und es ihr an pathologischen Gegenbeispielen mangelt, weil die Welt laut ist und diese Gegenbeispiele an normale Beispiele angrenzen. (2) Muss nicht sein, ein Qubit ist zum Beispiel eher ein zweidimensionaler Raum als N -dimensional. Jedes Quantensystem ist wohl „wirklich“ endlichdimensional, versuchen Sie, zu viel Energie in ein Teilchen in einer Kiste zu stecken, und es wird sich selbst verdunkeln.
Normalisierung der Wellenfunktion, gegeben durch die Form Aei(kx−wt)Aei(kx−wt)Ae^{i(kx-wt)}
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