Identische Teilchen scheinen die Wahrscheinlichkeit zu verringern

Diese Frage hat im Grunde zwei sehr verwandte Teile. Dies kam im Zusammenhang mit dem Versuch auf, etwas zu überprüfen, was mein Professor vor einiger Zeit gesagt hat: Wenn die Wellenfunktionen für zwei identische Teilchen gut getrennt sind (dh wenn sie sehr spitz sind und die Spitzen makroskopisch weit voneinander entfernt sind), dann können Sie das modellieren Sie sie als unterscheidbare Teilchen. Er argumentierte, dass beim Vertauschen der Wellenfunktionen der Term, den wir durch das Vertauschen erhalten, sehr klein ist und ignoriert werden kann. Das Nehmen der Norm der symmetrisierten Wellenfunktion reduziert sich also auf das Nehmen der Norm der nicht trivialen Amplitude in der Symmetrisierung. Dies ist die Amplitude, die Sie erhalten würden, wenn Sie die Partikel als unterscheidbar modellieren würden.

Doch wenn ich dieses Verfahren durchführe, vermasselt mich die Normalisierung durch das Symmetrisierungsverfahren. Ich bin mir nicht sicher, wo ich falsch liege.

Angenommen, ich habe zwei Bosonen. Ich weiß, dass man im Staat ist | ψ 1 ⟩ und man ist im Staat | ψ 2 ⟩ .

Der symmetrisierte Zustand ist dann

1 2 ( | ψ 1 ψ 2 ⟩ + | ψ 2 ψ 1 ⟩ )

Angenommen, die Wellenfunktionen für | ψ 1 ⟩ Und | ψ 2 ⟩ sind an getrennten Stellen spitz oder haben eine nicht überlappende Unterstützung.

Dann, wenn ich mir das ansehe X 1 , X 2 , mit X 1 ∈ Unterhalt ( ψ 1 ( ⋅ ) ) Und X 2 ∈ Unterhalt ( ψ 2 ( ⋅ ) ) , dann sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein Teilchen in der Nähe beobachte X 1 und ein anderer in der Nähe X 2 Sei

1 2 | ψ 1 ( X 1 ) | 2 | ψ 2 ( X 2 ) | 2

was die Hälfte dessen wäre, was es für unterscheidbare Teilchen wäre? Dieses Ergebnis fühlt sich falsch an. Ich dachte, vielleicht stimmt etwas mit der Normalisierung nicht, aber das scheint nicht der Fall zu sein.

Zum Schluss noch eine Physikfrage in der HNQ-Liste, die sich weder mit einem Schulbuch noch mit einem Wikipedia-Artikel beantworten lässt. +1.

Antworten (3)

Die Leute sagen oft „Quanten-ununterscheidbare Teilchen, die sehr weit voneinander entfernt sind, verhalten sich wie unterscheidbare Teilchen“, aber das ist ein bisschen irreführend. Es wäre genauer zu sagen "Quanten-ununterscheidbare Teilchen, die sehr weit voneinander entfernt sind, verhalten sich wie klassische nicht unterscheidbare Teilchen." Der Unterschied ist subtil, aber wichtig.

Das Problem liegt in deinem Satz "wenn ich mir anschaue X 1 , X 2 , mit X 1 ∈ Unterhalt ( ψ 1 ( ⋅ ) ) Und X 2 ∈ Unterhalt ( ψ 2 ( ⋅ ) ) ...". Es gibt kein mögliches Experiment, das besagt: "Ich habe ein Teilchen entdeckt X 1 am Standort X " - nur Experimente, die sagen: "Ich habe an Ort und Stelle ein Teilchen entdeckt X ." Also die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass man an einem Punkt ein Teilchen misst X und ein weiteres Teilchen an Punkt j Ist

⟨ X , j | 1 2 ( | ψ 1 ψ 2 ⟩ + | ψ 2 ψ 1 ⟩ ) = 1 2 ( ψ 1 ( X ) ψ 2 ( j ) + ψ 2 ( X ) ψ 1 ( j ) )

und die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist das Normquadrat

P ( X , j ) = 1 2 ( | ψ 1 ( X ) | 2 | ψ 2 ( j ) | 2 + | ψ 2 ( X ) | 2 | ψ 1 ( j ) | 2 ) ,

wo die Kreuzbegriffe alle Null sind, weil die Zustände | ψ 1 ⟩ Und | ψ 2 ⟩ sind orthogonal. Dies ist in der Tat das Ergebnis für klassische nicht unterscheidbare Teilchen, und ∫ P ( X , j )   D X D j = 1 wie es sollte (im Gegensatz zu Ihrem Ausdruck).

Die einzigen Dinge, die sich vom allgemeinen Quantenfall unterscheiden, sind (a) Sie können einfach den Normalisierungsfaktor von verwenden 1 / 2 und (b) wenn Sie die Amplitude auf eine tatsächliche Wahrscheinlichkeitsdichte normquadrieren, können Sie die Kreuzterme ignorieren.

Wenn du von Anfang an klassisch arbeiten willst, dann symmetrierst du das Ket überhaupt nicht, sondern arbeitest mit dem Ket | ψ 1 ψ 2 ⟩ stattdessen. Dann taucht Ihr Normalisierungsproblem nicht auf.

Das erklärt die Frage nicht. Es umgeht das Problem, indem es neu definiert, was P ( X , j ) bedeutet. Um eine Wahrscheinlichkeit zu erhalten (abgesehen von der Tatsache, dass es sich wirklich um eine Dichte handelt), ein Teilchen bei zu finden X 1 und eine andere bei X 2 man müsste manuell summieren P ( X 1 , X 2 ) + P ( X 2 , X 1 ) (die beiden Terme sind gleich). Welche Veranstaltung tut dann P ( X , j ) alleine als Wahrscheinlichkeit beschreiben ?
(a) Dies sollte nicht Ihre Antwort ansprechen, Entschuldigung, ich wollte nur nicht dreimal "Dichte" sagen, also habe ich es einmal mit einem Haftungsausschluss gesagt. (b) Natürlich verstehe ich die Quantenphysik nicht. (c) Das ist es nicht, und das ist genau das Herzstück meines Kommentars. Es ist die Hälfte der fraglichen Wahrscheinlichkeit, denn um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, müsste man summieren P ( X , j ) mit P ( j , X ) .
(Letzteres ist keine Frage der Quantenmechanik. Lassen Sie in einem Minimalbeispiel zwei nicht unterscheidbare Teilchen zwei mögliche Zustände haben, A Und B , jede. Dann können wir zum Beispiel nur wissen „sie befinden sich in unterschiedlichen Zuständen“. Wenn wir das verlangen ∑ X , j P ( X , j ) = 1 , das bedeutet für P Das P ( A , B ) = 1 2 , P ( B , A ) = 1 2 Und P ( A , A ) = P ( B , B ) = 0 . Doch die Wahrscheinlichkeit , ein Teilchen darin zu finden A und eins drin B ist ein. Das ist nicht P ( X , j ) für alle X , j .)
Aber sie sind die eine Hälfte davon. Andernfalls müsste Ihr Integral eine doppelte Summierung vermeiden, indem es eine Grenze auferlegt X ≤ j oder so. Übrigens das | A ⟩ ⊗ | B ⟩ ∉ H ist im Grunde das, was meine eigene Antwort sagt, und das Problem verschwindet, wenn das zuerst gelöst wird.
Oh, und "eins in ..." bedeutete Besetzungsnummern, genau wie im OP. Ich halte sie nicht für getrennt.
Ich bin nicht verwirrt; versuche nur meinen Standpunkt zu beweisen. Könnten Sie bitte etwas zu meinem Minimalbeispiel sagen? Die Wahrscheinlichkeit, den Zustand zu finden | N A = 1 , N B = 1 ⟩ ist eine Weile P ( A , B ) = P ( B , A ) Sind 1 2 und nicht einer. Das ist, soweit ich weiß, das Problem des OP.
@TheVee Ja, du hast Recht und ich habe mich geirrt. Eine Multi-Partikel-Wahrscheinlichkeitsdichte P ( X , j , z . . . ) ist unter allen Permutationen (auch für Fermionen) immer symmetrisch. Die Standardnormalisierung geht davon aus, dass Sie ohne Einschränkungen über den gesamten Konfigurationsraum integrieren, sodass Sie multiplizieren müssen P von N ! um die physikalische Wahrscheinlichkeit für die klassische Ununterscheidbarkeit der Teilchen zu erklären (d.h. dass jede physikalische Konfiguration tatsächlich eine Äquivalenzklasse von ist N ! verschiedene Punkte im Konfigurationsraum - oder wenn Sie Lust haben, der physikalische Zustandsraum ist eigentlich ...
@TheVee-Konfigurationsraum, modifiziert durch die Gruppe der Partikelpermutationen. Wenn der Konfigurationsraum bestellbar ist, dann ist dieser grundsätzlich gerecht N ! Kopien des Keils X 1 < X 2 < … . Für Bosonen, aber nicht für Fermionen, gibt es degenerierte Punkte, an denen sich mehrere Teilchen am selben Ort befinden und sich der kombinatorische Faktor ändert, aber sie sind Maß-Null und beeinflussen die tatsächlichen Wahrscheinlichkeitsintegrale nicht, sodass wir diese Subtilität ignorieren können.)

Anstatt zu schreiben:

1 2 ( | ψ 1 ψ 2 ⟩ + | ψ 2 ψ 1 ⟩ )

Es wird aufschlussreicher sein, dies zu sehen

Ψ ( X 1 , X 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) + ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

Also, wenn Sie finden | Ψ | 2 , erhalten Sie drei (technisch 4) Begriffe:

1 2 ( | ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) | 2 + ( vernachlässigbare Wechselwirkungsterme ) + | ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) | 2 )

Aber für nicht unterscheidbare Teilchen ψ 1 ( X J ) = ψ 1 ( X ich ) . Obwohl die Wechselwirkungsterme bei großer Entfernung verschwinden, gilt diese Tatsache unabhängig von der Entfernung zwischen ihnen X ich Und X J !. Wenn wir diese Tatsache ausnutzen und die Wechselwirkungsterme ignorieren, erhalten wir:

1 2 ( 2 ⋅ | ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) | 2 )

Und so ist das Ergebnis dasselbe wie unterscheidbare Teilchen, aber es braucht nur einen anderen Weg, um dorthin zu gelangen.

Bearbeiten: Denken Sie daran, dass es so ist Ψ und nicht ψ die für Bosonen/Fermionen jeweils unter Teilchenaustausch symmetrisch/antisymmetrisch sein müssen X 1 Und X 2 .

ψ 1 ( X J ) kann nicht trivial gleich sein ψ 1 ( X ich ) in der OP-Notation. Nur einer der beiden Punkte liegt in der Unterstützung dieser Funktion.
@TheVee dummer Kommentar, ich wusste, was er meinte, aber was er schrieb, und du auch.
Sind Sie im Ernst? Das ist eine eklatante Diskrepanz. Es geht nicht darum, was wer gemeint hat. Für eine Funktion ψ 1 mit Unterstützung zentriert um 1 und ψ 2 zentriert um 2 und Punkte X 1 = 1 Und X 2 = 2 wie konntest du jemals behaupten ψ 1 ( X 1 ) = ψ 1 ( X 2 ) ?
@TheVee äh ..... es bezieht sich auf den Partikelindex und nicht auf beliebige x-Werte.

Sie sollten die bosonische Symmetrisierung konsequent verwenden (auch mit dem gemessenen Zustand) und sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu entdecken, in | ϕ 1 ⟩ und eins drin | ϕ 2 ⟩ , Wo ⟨ ϕ 1 | ϕ 2 ⟩ = 0 , ist das Betragsquadrat des Skalarprodukts zwischen

| Ψ ⟩ = 1 2 ( | ψ 1 ⟩ | ψ 2 ⟩ + | ψ 2 ⟩ | ψ 1 ⟩ )
Und
| Φ ⟩ = 1 2 ( | ϕ 1 ⟩ | ϕ 2 ⟩ + | ϕ 2 ⟩ | ϕ 1 ⟩ ) .
Das ist nach Expansion das Mag-Quadrat von
⟨ Φ | Ψ ⟩ = ⟨ ϕ 1 | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 2 | ψ 2 ⟩ + ⟨ ϕ 2 | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 1 | ψ 2 ⟩
eher als von
( ⟨ ϕ 1 | ⟨ ϕ 2 | ) | Ψ ⟩ = 1 2 ( ⟨ ϕ 1 | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 2 | ψ 2 ⟩ + ⟨ ϕ 2 | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 1 | ψ 2 ⟩ )
die du verwendet hast.

Wenn Sie diese Formel für die Verwendung mit räumlich getrennten verallgemeinerten Positionseigenzuständen biegen, erhalten Sie das richtige Ergebnis.

Identische Teilchen scheinen die Wahrscheinlichkeit zu verringern
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