Wahrscheinlichkeit größer als 1 bei Integration der Elektronendichte in die Dichtefunktionaltheorie

Die Elektronendichte, die in der Dichtefunktionaltheorie für ein System von verwendet wird$N$Elektronen mit Wellenfunktion$\psi$ist definiert als

$$\rho(r)=N\int \Psi^*(r,r_2,\dots r_N)\Psi(r,r_2,\dots r_N) d^3r_2\dots d^3r_N$$

Die Interpretation davon wird als die Wahrscheinlichkeit gegeben, einen der zu finden$N$Elektronen im Volumenelement$d^3r$. Die folgende Eigenschaft gilt auch:

$$\int \rho(r)d^3r=N$$ Ich verstehe das nicht, wenn$\rho(r)$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte mit obiger Interpretation, ihr Integral über den ganzen Raum sollte einfach bedeuten: "Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im ganzen Raum zu finden" und das sollte gerecht sein$1$, nicht $N$. Wie kann die Wahrscheinlichkeit, an irgendeinem Punkt im ganzen Raum ein Elektron zu finden, größer als 1 sein?

Quelle: A Chemist's Guide to Density Functional Theory. Zweite Auflage Wolfram Koch, Max C. Holthausen