Ermittlung des Gesamtflusses des Wahrscheinlichkeitsstroms durch eine Kugel

Für eine Wellenfunktion:

$$\Psi(\textbf{x}) = e^{ikz} + \dfrac{f(\theta)}{r}e^{ikr}$$

Wo$z = r\cos(\theta)$.

Der Wahrscheinlichkeitsstrom$J$ist dann gegeben durch:

$$J(\textbf{x}) = J_1(\textbf{x}) + J_2(\textbf{x}) + J_{12}(\textbf{x})$$

Wo$J_1$ist der Strom aufgrund des ersten Terms (ebene Welle) und der zweite Term ist der Strom aufgrund des zweiten Terms (Kugelwelle) und der dritte ist aufgrund der Interferenz der beiden Wellen.

Ich habe gerechnet$J_1$so was:

$$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{ikr\cos(\theta)})^*(\nabla \cdot e^{ikr\cos(\theta)}))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{-ikr\cos(\theta)}) (\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial}{\partial \theta})e^{ikr\cos(\theta)})$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im(ik\cos(\theta) + ik\sin(\theta))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar k}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

Berechnen Sie nun den Gesamtfluss durch eine Kugel mit Radius$R$:

$$\Phi = \int J_1\cdot dA$$ $$\Phi = J_1 A = J_1\pi R^2$$ $$\Phi = \dfrac{\pi\hbar kR^2}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

Meine Frage ist, ist dies der richtige Weg und ist es richtig?