Wahrscheinlichkeit Strom vs. Richtung der Wellenfunktion

Ich habe eine Übung für meine Quantenmechanik-Vorlesung gemacht: Let ℏ =2m=1. Ein Teilchen in 1 Dimension hat J ( X ) = 2   ICH M ( ψ ¯ ( X )   ψ ' ( X ) ) und es soll zeigen, dass es Überlagerungen gibt ψ ( X ) = A 1 e ich k 1 X + A 2 e ich k 2 X , Wo k 1 , k 2 > 0 , von Wellen, die sich bei x=0 aber j(0)<0 nach rechts ausbreiten.

Sie können das zeigen, indem Sie j(0) berechnen, was zu einer nicht positiven semidefiniten quadratischen Form in führt A 1 ,   A 2 .

(Anmerkung: Diese Überlagerung kann nicht normiert werden, aber die Übung besagt, dass es analoge Wellen gibt, die das können.)

Ich habe Probleme, das zu verstehen. Wie kann sich die Welle (und damit die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen am Ort x befindet) nach rechts ausbreiten, wenn der Strom negativ ist? Vielleicht kann mir jemand erklären, wie ich darüber denken soll?

Edit: Die offizielle Lösung der Übung: „Mit ψ ' = ich ( k 1 A 1 e ich k 1 X + k 2 A 2 e ich k 2 X ) Ist:

ψ ¯ ( 0 ) ψ ' ( 0 ) = ∑ ich , J = 1 2 ich   A ¯ ich k J A J Und

J ( 0 ) = ∑ ich , J = 1 2 ( k ich + k J ) A ¯ ich A J

Diese quadratische Form in A 1 , A 2 ist nicht positiv semidefinit, weil die Determinante durch gegeben ist − ( k 1 − k 2 ) 2 < 0 "

Wenn ich das genannte Problem gelöst habe, habe ich die Wahrscheinlichkeitsstromdichte erhalten, deren Richtung entlang der Wellenvektoren orientiert ist. Ich habe Eulers Formeln verwendet. Vergessen Sie auch nicht, nur den imaginären Teil zu nehmen.
Die Aufgabe besagt ausdrücklich, dass die Situation so ist, wie ich sie beschrieben habe. Außerdem habe ich die Lösung dieser Übung: Siehe Bearbeiten.
Ich habe gerade festgestellt, dass auch in der Formel von j(x) ein Fehler war. Das könnte Ihr Ergebnis verursacht haben. Das tut mir leid. Habe es gerade korrigiert.

Antworten (2)

Zu Ihrer Frage "Wie kann sich die Welle bei negativem Strom nach rechts ausbreiten?" Ich werde antworten, dass Ihre Aussage, dass "die Welle sich nach rechts ausbreitet", nicht ganz richtig ist: Was Sie hier berücksichtigen müssen, ist die Gruppengeschwindigkeit, nicht jede einzelne Phasengeschwindigkeit.

Da sich beide ebenen Wellen nach rechts ausbreiten k 1 , k 2 > 0 , dann nehmen Sie implizit an ω 1 ≡ ω ( k 1 ) > 0 Und ω 2 ≡ ω ( k 2 ) > 0 , aber dein Problem gibt keine Auskunft mehr über die Dispersionsrelation.

Um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, was der Fluss der Wahrscheinlichkeitsdichte ist, müssen Sie die hier gegebene Gruppengeschwindigkeit berücksichtigen Δ ω Δ k = ω 2 − ω 1 k 2 − k 1 , die je nach Dispersionsrelation tatsächlich beliebige Vorzeichen haben könnte.

Ich bin zufällig auf diese alte Frage gestoßen, aber ich denke, es lohnt sich immer noch, eine Antwort für die Zukunft zu geben.

Dominique Geoffrey weist zu Recht darauf hin, dass eine Dispersionsrelation benötigt wird. Ich denke jedoch, dass dieses Problem selbst im einfachsten Fall eines sich frei entwickelnden materiellen Teilchens, dh mit einer Dispersionsrelation, aufschlussreich ist ω ( k ) = ℏ k 2 2 M (Ich berücksichtige natürlich die nichtrelativistische Grenze).

In diesem Szenario ist es durchaus möglich, ein Wellenpaket mit nur positiven Impulsen zu haben, die für einige Zeitintervalle zu einem negativen Strom führen. Dieses kontraintuitive Phänomen ist wohlbekannt und wird seit geraumer Zeit in der Quantenmechanik untersucht (hauptsächlich im Zusammenhang mit dem Problem der Bestimmung der Verteilung der Ankunftszeit eines massiven Teilchens, das durch die Quantenmechanik beschrieben wird).

In der Literatur wird dieses Phänomen als "Backflow-Effekt" bezeichnet: siehe http://arxiv.org/abs/1301.4893 für eine Einführung in das Thema und die darin enthaltenen Referenzen, falls Sie daran interessiert sind.

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