Wahrscheinlichkeitsstromdichte ableiten - Faktoren der 2-Diskrepanz [geschlossen]

Um die Wahrscheinlichkeitsstromdichte für ein Teilchen in einem elektromagnetischen Feld abzuleiten, berechnen wir ∂ ρ ∂ T = ∂ ∂ T ( Ψ ∗ Ψ ) = ∂ Ψ ∗ ∂ T Ψ + Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ T

H ist, wenn wir einwechseln − ich ℏ ∇ für P → :

H = 1 2 M ( P → − Q C A ) ⋅ ( P → − Q C A ) + Q ϕ = 1 2 M ( − ich ℏ ∇ − Q C A ) ⋅ ( − ich ℏ ∇ − Q C A ) + Q ϕ = 1 2 M ( ich ℏ ∇ + Q C A ) ⋅ ( ich ℏ ∇ + Q C A ) + Q ϕ

Schrödinger-Gleichung und ihr komplexes Konjugat:

∂ Ψ ∂ T = H Ψ ich ℏ

∂ Ψ ∗ ∂ T = ( H Ψ ) ∗ − ich ℏ

Ersatz ein:

∂ ρ ∂ T = − 1 ich ℏ [ ( H Ψ ) ∗ Ψ − Ψ ∗ ( H Ψ ) ]

Ersatz ein H :

∂ ρ ∂ T = − 1 ich ℏ { ( [ 1 2 M ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) ⋅ ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) + Q ϕ ] Ψ ) ∗ Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 M ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) ⋅ ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) + Q ϕ ] Ψ ) }

Komplexes Konjugat anwenden:

∂ ρ ∂ T = − 1 ich ℏ { ( [ 1 2 M ( − ich ℏ ∇ + Q C A ) ⋅ ( − ich ℏ ∇ + Q C A ) + Q ϕ ] Ψ ∗ ) Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 M ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) ⋅ ( + ich ℏ ∇ + Q C A ) + Q ϕ ] Ψ ) }

VEREITELN:

∂ ρ ∂ T = − 1 ich ℏ { ( [ 1 2 M ( ich ℏ ich ℏ ∇ 2 + ( − ich ℏ ) ∇ ⋅ ( Q C A ) + ( Q C A ) ⋅ ( − ich ℏ ) ∇ + Q 2 C 2 A 2 ) + Q ϕ ] Ψ ∗ ) Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 M ( ich ℏ ich ℏ ∇ 2 + ich ℏ ∇ ⋅ ( Q C A ) + ( Q C A ) ⋅ ( ich ℏ ∇ ) + Q 2 C 2 A 2 ) + Q ϕ ] Ψ ) }

Alles ausmultiplizieren:

∂ ρ ∂ T = − ich ℏ 2 M ( ∇ 2 Ψ ∗ ) Ψ + 1 2 M ( ∇ ⋅ Q C A ) Ψ ∗ Ψ + 1 2 M ( Q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ∗ ) Ψ + − 1 ich ℏ 1 2 M Q 2 C 2 A 2 Ψ ∗ Ψ + − 1 ich ℏ 1 2 M Q ϕ Ψ ∗ Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 M ( ich ℏ ) ( ∇ 2 Ψ ) + ( Ψ ∗ ) 1 2 M ∇ ⋅ ( Q C A ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 M ( Q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ) + 1 ich ℏ ( Ψ ∗ ) 1 2 M Q 2 C 2 A 2 Ψ + 1 ich ℏ 1 2 M ( Ψ ∗ ) Q ϕ Ψ

Die Begriffe enthalten ϕ Und Q 2 C 2 A 2 stornieren und es ist eine Tatsache, dass Ψ ∇ 2 Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ 2 Ψ = ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) , So

∂ ρ ∂ T = − ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + 1 2 M ( ∇ ⋅ Q C A ) Ψ ∗ Ψ + 1 2 M ( Q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ∗ ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 M ∇ ⋅ ( Q C A ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 M ( Q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ )

Beachten Sie, dass von den 5 Termen der 2. und 4. gleich sind, also

(1) ∂ ρ ∂ T = − ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + Q M C ( ∇ ⋅ A ) Ψ ∗ Ψ + Q 2 M C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q 2 M C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current sagt uns, dass das Endergebnis sein sollte ∂ ρ ∂ T = − ∇ ⋅ J und das

J = 1 2 M [ ( Ψ ∗ P ^ Ψ − Ψ P ^ Ψ ∗ ) − 2 Q C A | Ψ | 2 ]

oder verwenden P ^ = − ich ℏ ∇ ,

J = 1 2 M [ ( Ψ ∗ ( − ich ℏ ∇ ) Ψ − Ψ ( − ich ℏ ∇ ) Ψ ∗ ) − 2 Q C A | Ψ | 2 ]

J = − ich ℏ 2 M ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − 1 2 M 2 Q C A | Ψ | 2

J = − ich ℏ 2 M ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − Q M C A | Ψ | 2

Bewirbt sich ∂ ρ ∂ T = − ∇ ⋅ J ,

∂ ρ ∂ T = − ∇ ⋅ [ − ich ℏ 2 M ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − Q M C A | Ψ | 2 ]

∂ ρ ∂ T = ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C ∇ ⋅ ( A | Ψ | 2 )

Wenden Sie eine Identität an über ∇ Arbeiten mit einem Skalar mal einem Vektor unter https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities ∇ ⋅ ( ϕ B ) = B ⋅ ∇ ϕ + ϕ ( ∇ ⋅ B ) (Ich habe die Buchstaben geändert),

∂ ρ ∂ T = ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C ( A ⋅ ∇ ( Ψ ∗ Ψ ) + ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) )

Produktregel:

∂ ρ ∂ T = ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C ( A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) + A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) )

∂ ρ ∂ T = ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) + Q M C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A )

Ordnen Sie einige Terme neu an, damit wir sie mit Gleichung (1) vergleichen können:

∂ ρ ∂ T = ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) + Q M C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q M C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

Jetzt sind wir sehr nah an Gleichung (1),

(1) ∂ ρ ∂ T = − ich ℏ 2 M ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + Q M C ( ∇ ⋅ A ) Ψ ∗ Ψ + Q 2 M C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + Q 2 M C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

aber sind durch einige Faktoren von 2 . Sehen Sie einen Fehler in meinen Schritten?

Ich stimme dafür, diese Frage als nicht zum Thema gehörend zu schließen, da diese Hausaufgaben-ähnliche Frage vom Typ "Meine Arbeit überprüfen" ist, der ausdrücklich nicht zum Thema gehört.
Fragen Sie nach "multiplizieren Sie es aus", und ich würde diesen ersten Begriff als schreiben Ψ ∂ T ( Ψ ∗ ) anstatt ( ∂ T ( Ψ ∗ ) ) Ψ um sich nicht darüber zu verwirren, welche Operatoren auf welche reagieren. Oder werfen Sie eine Klammer einfach nicht weg, wenn sie da ist, brauchen Sie sie. Und es ist wichtig, dass Sie lernen, Ihre Arbeit zu überprüfen, jeder macht manchmal Fehler, aber Sie müssen in der Lage sein, sie durchzugehen und zu überprüfen, um sie richtig zu machen.
@Timaeus: Ich habe die ursprüngliche Frage nicht bearbeitet. Ich bin heute erst wieder dazu gekommen, mir Ihre letzten Kommentare anzusehen. Ich schätze Ihre Analyse sehr.

Antworten (1)

Sehen Sie einen Fehler in meinen Schritten?

Ja, ich sehe einen konzeptionellen Fehler. Also werde ich darüber sprechen.

∂ ρ ∂ T = ∂ ∂ T ( Ψ ∗ Ψ ) = ∂ Ψ ∗ ∂ T Ψ + Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ T

sollte sein ∂ ρ ∂ T = ∂ ∂ T ( Ψ ∗ Ψ ) = Ψ ∂ ∂ T Ψ ∗ + Ψ ∗ ∂ ∂ T Ψ

Weil ∂ T ist ein Operator und daher sollten wir nur Dinge rechts davon haben, auf die er wirkt. Weil du dich jetzt vielleicht daran erinnerst, aber später wirst du es vergessen und dann einen Fehler machen. Außerdem werden es sowieso einfach zu viele Klammern sein.

Nun schau zu

H = 1 2 M ( P → − Q C A ) ⋅ ( P → − Q C A ) + Q ϕ = 1 2 M ( − ich ℏ ∇ − Q C A ) ⋅ ( − ich ℏ ∇ − Q C A ) + Q ϕ

was gleich ist

1 2 M ∑ J ( ( ich ℏ ∂ J + Q C A J ) ( ich ℏ ∂ J + Q C A J ) ) + Q ϕ .

Und das sind Operatoren, der eine auf der rechten Seite wirkt auf die Dinge ein, dann der nächste auf das Ergebnis davon und so weiter. Betrachten Sie sie wie Matrizen. Stellen Sie sich keine Vektoren oder Punktprodukte vor, fangen Sie nicht an zu denken, dass etwas (irgendetwas) ein Skalar ist, und fangen Sie nicht an, die Reihenfolge von irgendetwas zu ändern. Wenn Sie es nicht rechtfertigen könnten, wenn es eine Matrix wäre, dann tun Sie es nicht. Behandeln Sie sie einfach alle wie Matrizen. Sogar ein Skalarfeld wie A J zuerst muss es etwas multiplizieren, dann muss eine Ableitung auf dieses Produkt wirken (mit der Produktregel), sonst machst du es falsch.

Ich habe versucht, strenger auf die Einhaltung der Reihenfolge der Multiplikationen zu achten, wie Sie gesagt haben, konnte das Problem jedoch nicht beheben. Ich habe die Frage im Physikforum gepostet. TSny weist darauf hin, dass ich einige der anwenden sollte, wenn ich vom Ausdruck nach „Apply complex conjugate:“ zum Ausdruck nach „FOIL:“ übergehe ∇ Betreiber sowohl die A sowie folgendes Ψ oder Ψ ∗ . Das fügt im Wesentlichen 2 Begriffe hinzu, die das "fehlende Zeug" ausfüllen.
Es würde mich nicht wundern, wenn sich herausstellt, dass sich meine fertige Herleitung bei strenger Betrachtung, wie Sie sie beschreiben, als falsch herausstellt. Aber dies (TSnys Fix) ist für einen Dilettanten zweckmäßig. Vielen Dank, dass Sie freundlicherweise diese lange Frage durchgegangen sind und die kritische Korrektur meiner Sichtweise auf die Mathematik der Quantenmechanik erklärt haben.
@a00 Wenn Sie von rechts nach links anwenden, gibt Ihnen die Produktregel die zusätzlichen Bedingungen. Bei SE haben wir Richtlinien gegen die Überprüfung meiner Arbeitsfragen, also habe ich versucht, mich an das Konzept zu halten, von dem ich dachte, dass es das Problem verursacht. Während des Foilens müssen Sie möglicherweise noch genügend Klammern hinzufügen, aber multiplizieren Sie es definitiv nicht.
Oh, also ist es die Rechts-Links-Assoziativität der Operatorenmathematik, die der zugrunde liegende Grund ist. Sie haben das Warum zum Wie hinzugefügt; Danke. Ich verstehe jetzt, dass die Überprüfung meiner Arbeitsbeiträge nicht das ist, wofür dieser StackExchange gedacht ist.
@ a00 Und deshalb habe ich Ihren Fehler nicht so ausführlich beschrieben, wie Sie vielleicht gehofft haben, aber jetzt kennen Sie ein wichtiges Konzept im Umgang mit Operatoren und insbesondere mit Differentialoperatoren. Stellen Sie sicher, dass jeder zuerst handelt, der rechte zuerst, dann der daneben und auch auf das Ergebnis der helleren reagiert. Daher müssen Produktregeln verwendet werden.
Wahrscheinlichkeitsstromdichte ableiten - Faktoren der 2-Diskrepanz [geschlossen]
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