Was ist die Kontinuitätsgleichung im QM?

Die anderen Antworten sind richtig, aber es lohnt sich, angesichts der Frage Ihres Titels anzugeben, was uns die Kontinuitätsgleichung tatsächlich sagt.

Eine Kontinuitätsgleichung ist der Ausdruck des Gleichgewichts zwischen der Änderungsrate der Menge an "Zeug" innerhalb einer Region$M$einerseits und der Gesamtfluss dieses Materials durch die Grenze$\partial M$auf dem anderen. Es ist die mathematische Übersetzung des Satzes „Was hineingeht, bleibt drin, wenn es nicht durch die Grenze wieder herauskommt“. Zum Beispiel wie bei einer Flüssigkeit: Die Flüssigkeitsmenge in einem Volumen kann sich nur um den gesamten Flüssigkeitsfluss durch die Grenze dieses Volumens ändern. Indem man das Testvolumen verkleinert und den Grenzwert nimmt, kann man zeigen, dass dieser Begriff mit der Gleichung in Nate Stemens Antwort identisch ist, wenn man sie nimmt$\rho$die Dichte einer Flüssigkeit sein und$\vec{j}$der Massenstrom sein.

In Ihrem Fall ist das "Zeug" die Gesamtwahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit, dass der Positionsoperator eine Messung innerhalb dieses Volumens liefert. Der Wahrscheinlichkeitsfluss ist vielleicht etwas abstrakter als der Massenfluss, aber die Erfüllung einer Kontinuitätsgleichung über den gesamten Raum bedeutet einfach, dass die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwo gemessen wird, konstant ist. Was es ist: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung irgendwo im ganzen Raum liegt, ist Eins!! Und die Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus der Anwendung dieses Prinzips auf ein beliebiges Volumen, die Grenze des Volumens und das Komplement des Volumens. Die Abnahme der Messwahrscheinlichkeit innerhalb des Volumens muss der Zunahme der Messwahrscheinlichkeit außerhalb entsprechen, die wiederum dem integrierten Fluss durch die Grenze entsprechen muss.

Denken Sie nun ein wenig über diese Gedanken nach und sehen Sie unter Berücksichtigung dieser Gedanken, ob Sie die Antwort von AlphaGo aus Ihren eigenen Gründen reproduzieren können .

Die Kontinuitätsgleichung wird also normalerweise geschrieben als

wo$\rho \equiv \rho(\mathbf{r},t) = |\psi|^2$ist die Standardwahrscheinlichkeitsdichte und$\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\bar{\psi}\nabla\psi - \psi\nabla\bar{\psi}\right)$heißt Wahrscheinlichkeitsstrom. Ich wollte das nur aufschreiben, damit Sie besser verstehen können, was Sie lesen, wenn Sie online schauen.

Jetzt in Ihrem Problem haben sie definiert$\xi \equiv |\psi|^2 + \frac{\partial}{\partial x}(\bar{\psi}\psi)$was sehr nah ist$\rho + \mathbf{j}$aber nicht ganz gleich. Sie wollen, dass du es zeigst$\partial_t\xi + \partial_x\xi = 0$