Wahrscheinlichkeit aktuell

Erhaltung der Wahrscheinlichkeit: Angenommen, eine Wellenfunktion hat ∂ P ∂ T = − T F ( X , T ) Und ∂ J ∂ X = ich F ( X , T ) . Wie folgt daraus ∂ P ∂ T = − ∂ J ∂ X ? Danke.

Sie haben einen Tippfehler in der ersten Gleichung, es sollte ein i sein. Diese Frage ist schlecht formuliert.

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Wenn dies der Fall ist, beweist dieser Link (der einige Vorzeichenfehler aufweist, wie in den Kommentaren angegeben) dies wie folgt (ohne die Vorzeichenfehler):

Wir beginnen damit, die Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte nur nach der Zeit zu differenzieren:

∂ P ( X , T ) ∂ T = ∂ ∂ T ( ψ ∗ ( X , T ) ψ ( X , T ) ) = [ ∂ ψ ∗ ∂ T ψ + ψ ∗ ∂ ψ ∂ T ] ( 1 )

Wir nutzen nun die Schrödinger-Gleichung und ihr komplexes Konjugat:

− ℏ 2 2 M ∂ 2 ψ ∂ X 2 + v ( X ) ψ = ich ℏ ∂ ψ ∂ T

− ℏ 2 2 M ∂ 2 ψ ∗ ∂ X 2 + v ( X ) ψ ∗ = − ich ℏ ∂ ψ ∗ ∂ T

Und injiziere sie in (1):

∂ P ( X , T ) ∂ T = 1 ich ℏ [ ℏ 2 2 M ∂ 2 ψ ∗ ∂ X 2 ψ − v ( X ) ψ ∗ ψ − ℏ 2 2 M ∂ 2 ψ ∂ X 2 ψ ∗ + v ( X ) ψ ψ ∗ ]
Was entspricht:
∂ P ( X , T ) ∂ T = 1 ich ℏ ℏ 2 2 M [ ∂ 2 ψ ∗ ∂ X 2 ψ − ψ ∗ ∂ 2 ψ ∂ X 2 ] = ℏ 2 M ich ∂ ∂ X [ ∂ ψ ∗ ∂ X ψ − ψ ∗ ∂ ψ ∂ X ] ( 2 )

Der Wahrscheinlichkeitsstrom ist wie folgt definiert:

J ( X , T ) = ℏ 2 M ich [ ψ ∗ ∂ ψ ∂ X − ψ ∂ ψ ∗ ∂ X ]
Daher sein Differential in Bezug auf die X Achse ist folgende:

∂ J ( X , T ) ∂ X = ℏ 2 M ich [ ψ ∗ ∂ 2 ψ ∂ X 2 − ψ ∂ 2 ψ ∗ ∂ X 2 ] = ℏ 2 M ich ∂ ∂ X [ ψ ∗ ∂ ψ ∂ X − ψ ∂ ψ ∗ ∂ X ] ( 3 )

(2) und (3) ⇔ ∂ P ( X , T ) D T + ∂ J ( X , T ) ∂ X = 0

Ich muss meine Latexfähigkeiten auffrischen, indem ich dies schreibe. Ich kann jedoch nicht herausfinden, wie man mit Mathjax den richtigen Psi-Buchstaben schreibt. In meinen früheren (drei Jahre alten) LaTeX-Dokumenten habe ich einfach \psi ohne spezielles Paket verwendet. Bitte bearbeiten Sie meinen Beitrag, um das zu korrigieren, danke!
Lieber @ChrisR, was genau ist falsch an \psi? Ihre Antwort scheint perfekt. MathJax ist nur eine spezielle Implementierung von TeX und LaTeX in Webseiten (die ich auch in meinem Blog verwende und anderen empfehle). Wenn Ihnen die Form von \psi nicht gefällt, wollten Sie vielleicht die Hauptstadt \Psi ?
Lieber @LubošMotl, danke der Nachfrage. In meinen LaTex-Dokumenten sieht der Kleinbuchstabe \psi so aus . Es ist derselbe Buchstabe, nur etwas anders gedruckt.
Außerdem scheint Ihre Antwort mehrere Minuszeichenfehler zu enthalten (und auf der von Ihnen verlinkten Website!).
@wsc Danke für den Hinweis. Ich glaube, ich habe sie jetzt korrigiert, nachdem ich die Mathematik auf Papier wiederholt habe.
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