Wahrscheinlichkeitsdichte eines freien Teilchens

Question

Wahrscheinlichkeitsdichte eines freien Teilchens

Anonym

Ich habe kürzlich QM studiert und bin auf den Fall eines freien Teilchens gestoßen. Ich habe verstanden, dass sich ein freies Teilchen in Form eines Wellenpakets dorthin bewegt, wo wir hinkommen

ψ (X) = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) e^{ich k X} D k}{\sqrt{2 π}}

$\psi (x) = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} \phi (k) e^{ikx} dk}{\sqrt {2 \pi}}$ Jetzt gegeben

ψ (x, 0)

$\psi (x,0)$ ich kann finden

ψ (x, t)

$\psi (x,t)$ Jetzt müssen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktion finden. Ich denke, es sollte sein

ψ^{*} (x, t) ψ (x, t)

$\psi ^*(x,t)\psi (x,t)$ aber die gegebene Lösung tut es

ϕ^{*} (k, t) ϕ (k, t)

$\phi^*(k,t)\phi(k,t)$ und ich bin verwirrt. Hinzu kommt, dass wir auch den Impuls des Teilchens erhalten

2 ℏ k

$2\hbar k$ aber ich habe keine Ahnung, wo wir diesen Wert verwenden müssen oder ob er eine Bedeutung hat oder nicht. Außerdem müssen wir die mittlere Energie finden, und ich habe den normalen Weg gemacht:

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x) H ψ (x)

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) H \psi (x)$ aber die Antwort passt nicht. Interpretiere ich etwas falsch an dem freien Teilchen? Bitte um Hilfe, ich bin echt verwirrt, würde mich über einen Hinweis freuen.

Ich habe diesen Link gefunden, wo es heißt $\phi(k)$ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Impulses des freien Teilchens, aber finden wir nicht den Erwartungswert des Impulses des Teilchens durch diese Formel

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (X) \frac{- ich ℏ D}{D X} ψ (X) ?

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) \frac{-i\hbar d}{dx} \psi (x)~?$ Wahrscheinlichkeitsdichte für Impuls in der Quantenmechanik

Um genau zu sein: Ich poste die Fragestellung hier:

Zum Zeitpunkt 𝑡=0 wird ein freies Teilchen im quantenmechanischen Zustand durch die Wellenfunktion 𝜓(𝑥)= beschrieben $\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{\frac{-\alpha x^2}{2}}$ .

(a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens mit Impuls 2ℏ𝑘 zu jedem Zeitpunkt t. Hier ist k der Wellenvektor.

(b) Finden Sie die mittlere Energie des Teilchens zu jedem Zeitpunkt t.

Hinweis: Dies ist keine HW-Frage. Eher eine Frage, die in unserer College-Prüfung kam.

G. Smith

Das ist keine HW-Frage. Das ist nicht relevant. Ob eine Frage auf dieser Seite als Hausaufgabe gilt oder nicht, hat nichts damit zu tun, ob es sich um eine Hausaufgabe für Sie oder jemand anderen handelt oder handelte oder ob es sich um eine Prüfung für Sie oder jemand anderen handelt oder handelte. Die Entscheidung sollte nur darauf beruhen, welche Art von Frage Sie stellen.

G. Smith

Haben Sie die Fragestellung ins Englische übersetzt? Es scheint, als sollte es fragen: „Finde die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das Teilchen zu jedem Zeitpunkt t einen Impuls von 2ℏ𝑘 hat.“ Dies wäre eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum .

G. Smith

Du kannst schreiben

ℏ

$\hbar$ als \hbar.

Gert

Ihrem Erwartungswert des Momentums scheint ein Unterschied zu fehlen.

G. Smith

Gaußsches Wellenpaket An dem, was Sie geschrieben haben, ist nichts Gaußsches.

Benutzer250764

@G.Smith Ich habe die Aussage nicht übersetzt. Es war ursprünglich nur auf Englisch. Und Gaußsches Wellenpaket, ich benutzte dieses Wort, da ich gelesen hatte, dass die Wellenpakete meist Gaußscher Natur sind. Ich kann mich irren. Soll ich es bearbeiten?

G. Smith

Was Sie geschrieben haben, ist eine Fourier-Transformation. Es kann ein Wellenpaket mit beliebiger Form darstellen, nicht nur mit einer Gaußschen Form, daher empfehle ich, das Wort „Gaußsch“ zu entfernen.

pglpm

Sie scheinen einige Verwirrung zwischen Wahrscheinlichkeit und Erwartung zu haben. Ich befürchte auch, dass Sie versuchen, sich Formeln zu merken ("Ich habe den normalen Weg gemacht ..."). Es gibt mehrere gute Bücher zur Quantentheorie, die Ihnen wirklich beim Verständnis helfen und die Konzepte Schritt für Schritt erklären. Schauen Sie sich zum Beispiel de Muyncks Foundations of Quantum Mechanics und Peres's Quantum Theory: Concepts and Methods an . Überprüfen Sie den Formalismus von POVMs , er macht Messung und Wahrscheinlichkeit viel klarer.

JEB

Die Definition von

ψ (x)

$\psi(x)$ als Integral über

d x

$dx$ ist falsch. Sie sollen Impuls-Eigenzustände kohärent hinzufügen

\exp i k x

$\exp{ikx}$ mit Schwung an

(k, k + d x)

$(k,k+dx)$ mit Gewicht

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

Benutzer250764

@JEB, ja, du hast recht, das war ein Tippfehler. behoben. Aber woher wussten Sie, dass Impuls-Eigenzustände exp ikx und Impuls-Eigenwerte sind

ϕ (k)

$\phi(k)$ ? Ich habe Griffith von vorne bis hinten gelesen, aber das Buch hat nicht erwähnt, was es ist

ϕ (k)

$\phi(k)$ , was ich also interpretiert habe, war, dass dies die Koeffizienten sind, die wir im Allgemeinen im Fall von Asinkx+Bcoskx , A- und B-Arten haben, und ich kann dies überhaupt nicht mit Momentum in Verbindung bringen.

Richard Meyers

Um all die Verwirrungen zu beseitigen, die Sie haben, scheint es notwendig, die einleitenden Kapitel eines QM-Textes zu schreiben. Sogar Griffiths enthält die Antworten auf diese Fragen, von denen Sie sagen, dass Sie sie von vorne bis hinten gelesen haben. Es gibt viele andere QM-Texte (und Online-Notizen), wenn Sie Griffiths Präsentation unklar fanden, obwohl nur wenige mathematisch so sanft wären.

Benutzer250764

Ja, ich war auch ein bisschen verwirrt über das Potenzial der endlichen quadratischen Vertiefung und ich fand MIT-Kursunterlagen nützlich, aber in Bezug auf freie Partikel konnte ich keine gute Quelle (Open Source) finden. Könnten Sie bitte etwas Open-Source-Material teilen, das meine Zweifel bespricht vorzugsweise etwas, das eine gründliche Diskussion über freie Teilchen enthält.

JEB

@Alex:

- i \partial_{x} e^{i k x} = k e^{i k x}

$-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ So

e^{i k x}

$e^{ikx}$ ist ein Eigenzustand mit Impuls

k

$k$ .

Kosmas Zachos

Dies ist ein Gaußsches Wellenpaket . Es sollte in Ihrem Text und in den meisten anständigen QM-Texten enthalten sein. Nachlesen.

Antworten (1)

Wahrscheinlichkeitsdichte eines freien Teilchens

Das ist keine HW-Frage. Das ist nicht relevant. Ob eine Frage auf dieser Seite als Hausaufgabe gilt oder nicht, hat nichts damit zu tun, ob es sich um eine Hausaufgabe für Sie oder jemand anderen handelt oder handelte oder ob es sich um eine Prüfung für Sie oder jemand anderen handelt oder handelte. Die Entscheidung sollte nur darauf beruhen, welche Art von Frage Sie stellen.
Haben Sie die Fragestellung ins Englische übersetzt? Es scheint, als sollte es fragen: „Finde die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das Teilchen zu jedem Zeitpunkt t einen Impuls von 2ℏ𝑘 hat.“ Dies wäre eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum .
Ihrem Erwartungswert des Momentums scheint ein Unterschied zu fehlen.
Gaußsches Wellenpaket An dem, was Sie geschrieben haben, ist nichts Gaußsches.
@G.Smith Ich habe die Aussage nicht übersetzt. Es war ursprünglich nur auf Englisch. Und Gaußsches Wellenpaket, ich benutzte dieses Wort, da ich gelesen hatte, dass die Wellenpakete meist Gaußscher Natur sind. Ich kann mich irren. Soll ich es bearbeiten?
Was Sie geschrieben haben, ist eine Fourier-Transformation. Es kann ein Wellenpaket mit beliebiger Form darstellen, nicht nur mit einer Gaußschen Form, daher empfehle ich, das Wort „Gaußsch“ zu entfernen.
Sie scheinen einige Verwirrung zwischen Wahrscheinlichkeit und Erwartung zu haben. Ich befürchte auch, dass Sie versuchen, sich Formeln zu merken ("Ich habe den normalen Weg gemacht ..."). Es gibt mehrere gute Bücher zur Quantentheorie, die Ihnen wirklich beim Verständnis helfen und die Konzepte Schritt für Schritt erklären. Schauen Sie sich zum Beispiel de Muyncks Foundations of Quantum Mechanics und Peres's Quantum Theory: Concepts and Methods an . Überprüfen Sie den Formalismus von POVMs , er macht Messung und Wahrscheinlichkeit viel klarer.
Die Definition von $\psi(x)$ als Integral über $dx$ ist falsch. Sie sollen Impuls-Eigenzustände kohärent hinzufügen $\exp{ikx}$ mit Schwung an $(k,k+dx)$ mit Gewicht $\phi(k)$ .
@JEB, ja, du hast recht, das war ein Tippfehler. behoben. Aber woher wussten Sie, dass Impuls-Eigenzustände exp ikx und Impuls-Eigenwerte sind $\phi(k)$ ? Ich habe Griffith von vorne bis hinten gelesen, aber das Buch hat nicht erwähnt, was es ist $\phi(k)$ , was ich also interpretiert habe, war, dass dies die Koeffizienten sind, die wir im Allgemeinen im Fall von Asinkx+Bcoskx , A- und B-Arten haben, und ich kann dies überhaupt nicht mit Momentum in Verbindung bringen.
Um all die Verwirrungen zu beseitigen, die Sie haben, scheint es notwendig, die einleitenden Kapitel eines QM-Textes zu schreiben. Sogar Griffiths enthält die Antworten auf diese Fragen, von denen Sie sagen, dass Sie sie von vorne bis hinten gelesen haben. Es gibt viele andere QM-Texte (und Online-Notizen), wenn Sie Griffiths Präsentation unklar fanden, obwohl nur wenige mathematisch so sanft wären.
Ja, ich war auch ein bisschen verwirrt über das Potenzial der endlichen quadratischen Vertiefung und ich fand MIT-Kursunterlagen nützlich, aber in Bezug auf freie Partikel konnte ich keine gute Quelle (Open Source) finden. Könnten Sie bitte etwas Open-Source-Material teilen, das meine Zweifel bespricht vorzugsweise etwas, das eine gründliche Diskussion über freie Teilchen enthält.
@Alex: $-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ So $e^{ikx}$ ist ein Eigenzustand mit Impuls $k$ .
Dies ist ein Gaußsches Wellenpaket . Es sollte in Ihrem Text und in den meisten anständigen QM-Texten enthalten sein. Nachlesen.

Manas Choudhary · Answer 1

Lassen Sie mich Ihnen einige Einblicke in Ihr Problem geben.

Warum tun wir $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ anstatt das Normale zu tun $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ ? Das liegt einfach daran $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte dar, dass Teilchen in einem gegebenen Positionseigenzustand gefunden werden. Einfacher ausgedrückt, an einer bestimmten Position im eindimensionalen Raum gefunden zu werden. Aber wenn Sie Ihre Frage sorgfältig lesen, werden Sie gebeten, die Wahrscheinlichkeit zu finden, in einem Impuls-Eigenzustand gefunden zu werden. Also springen wir mit Schiffen in den Impulsraum. Hier kommen die Tricks der Fourier-Transformation und des inversen Fourier ins Spiel. Erinnern Sie sich an die Postulate der Quantenmechanik, und Sie werden feststellen, dass das Quadrat der Koeffizienten bei der Entwicklung einer Eigenfunktion in Bezug auf die Eigenvektoren einer Observablen die Wahrscheinlichkeit darstellt, gefunden zu werden in diesem Eigenzustand des Observablen. Also tun $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ ist korrekt, abgesehen von einigen inhärenten Konstanten, die Sie leicht herausfinden können, wenn Sie die Fourier-Transformation in einem beliebigen Standardtext nachschlagen.
Das ist viel trivialer und bei genauerem Hinsehen leicht herauszufinden. Ihre Wellenfunktion ist nicht normalisiert, sodass Ihre Formel nicht funktioniert. Normalisieren Sie zuerst und versuchen Sie es dann mit dieser Formel oder tun Sie es einfach
$⟨ E ⟩ = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \hat{H} ψ D X}{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} ψ D X}$ $\langle E\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\hat H\psi dx}{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\psi dx}$

Wahrscheinlichkeitsdichte eines freien Teilchens

Anonym

G. Smith

G. Smith

G. Smith

Gert

G. Smith

Benutzer250764

G. Smith

pglpm

JEB

Benutzer250764

Richard Meyers

Benutzer250764

JEB

Kosmas Zachos

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Manas Choudhary

Warum ist ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx − \omega t)} eine gültige Wellenfunktion, da sie auf RR\Bbb R nicht endlich integrierbar ist?

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