Formulierung und Wahrscheinlichkeit einer Wellenfunktion [geschlossen]

Question

Formulierung und Wahrscheinlichkeit einer Wellenfunktion [geschlossen]

Sindbad der Seefahrer

Ich habe dieses Problem, bei dem mir die folgende Wellenfunktion gegeben wurde:

Ψ = 0 Wenn | X | > A Und A (A^{2} - X^{2}) Wenn | X | < A

$\Psi = 0\quad\text{if}~|x| > a\quad\text{and}\quad A(a^2-x^2)\quad \text{if} \quad |x|< a$

Die erste Frage lautet nun: "Bestimmen Sie die zeitabhängige Wellenfunktion. Ihre Antwort sollte als unendliche Summe ausgedrückt werden." Wie drücke ich es als unendliche Summe aus, kann ich einfach nicht multiplizieren $e^{-iEt/(\hbar)}$ ?

Die zweite Frage lautet: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit Energie zu finden? $E_n = \hbar\omega(n + 1/2)$ damals $t =2\pi/\omega$ ?" Ich verstehe nicht wirklich, wo ich anfangen soll, wenn ich die zeitabhängige Wellenfunktion als ausdrücke $\psi (x,0)e^{-iEt/\hbar}$ kann ich ersetzen $E$ Und $t$ , aber wie finde ich dann die Wahrscheinlichkeit, braucht man dafür nicht ein Intervall?

EDIT: 6. November 2013

Ich denke, ich habe herausgefunden, was jetzt zu tun ist, so habe ich das Problem mit der Hilfe, die mir gegeben wurde, unterbrochen. Sagen wir der Einfachheit halber, wir wollen die Wahrscheinlichkeit finden, das Teilchen mit Energie zu finden $E_1$ zum Zeitpunkt $t$ . Zuerst zerlegen wir die Wellenfunktion in eine Summe von Eigenfunktionen, dann bekommen wir das

Ψ (X, 0) = \sum_{ich}^{\infty} C_{ich} ψ_{ich} (X)

$\Psi(x,0)=\sum_i^{\infty}c_i\psi_i(x)$ dann finden wir die zeitabhängige Wellenfunktion, indem wir Folgendes tun:

Ψ (X, T) = \sum_{ich}^{\infty} C_{ich} ψ_{ich} (X) \cdot e^{- ich E_{N} T / ℏ}

$\Psi(x,t)=\sum_i^\infty c_i\psi_i(x)\cdot e^{-iE_nt/\hbar}$ . Da wir das wissen

| c_{i} |^{2}

$\vert c_i \vert^2$ ist die Wahrscheinlichkeit und

c_{i}

$c_i$ wird gegeben von:

c_{i} = \int_{a l l s p a c e} ψ (x) ψ_{i} (x) d x

$c_i=\int_{allspace} \psi(x)\psi_i(x)dx$ Jetzt sind wir am Finden interessiert

c_{1}

$c_1$ und deshalb müssen wir es wissen

ψ_{1} (x)

$\psi_1(x)$ was nach der von WetSavannaAnimal alias Rod Vance angegebenen Formel Folgendes ergibt:

ψ_{1} (X) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{M ω}{π ℏ})^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- \frac{M ω X^{2}}{2 ℏ}} \sqrt{\frac{M ω}{ℏ}} X^{2}

$\psi_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}(\frac{m\omega}{\pi\hbar})^\frac{1}{4}\cdot e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^2$ Setzen Sie dies in die Formel von ein

c_{i}

$c_i$ für die gegebene Wellenfunktion und für den Raum dazwischen

- a

$-a$ Zu

a

$a$ und Herausziehen der Konstanten der Integralausbeute:

C_{1} = A \sqrt{\frac{M ω}{2 ℏ}} (\frac{M ω}{π ℏ})^{\frac{1}{4}} \int_{- A}^{A} (A^{2} - X^{2}) X^{2} e^{- \frac{M ω X^{2} - 2 ich E_{1} T}{2 ℏ}}

$c_1=A\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\frac{m\omega}{\pi\hbar})^\frac{1}{4}\int_{-a}^a(a^2-x^2)x^2e^{-\frac{m\omega x^2-2iE_1t}{2\hbar}}$ danach finden wir einfach

| c_{1} |^{2}

$\vert c_1 \vert ^2$ und wenn wir die Wahrscheinlichkeit für E_n finden wollen, machen wir dasselbe, nur etwas allgemeiner mit

ψ_{i} (x)

$\psi_i(x)$ aber das prinzip ist das gleiche. Ist das der richtige Weg oder zumindest ein Weg zur Lösung des Problems oder bin ich auf einem total falschen Weg?

Mitchell Porter

Eine zeitabhängige Wellenfunktion hat die Form "(psi zum Zeitpunkt Null) mal (e zum -iEt)" nur dann, wenn "psi zum Zeitpunkt Null" ein Energieeigenzustand ist, dh diesen Energiewert mit 100%iger Wahrscheinlichkeit vorhersagt. Kennst du dich schon mit Eigenzuständen aus?

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Warum bekommt das knappe Stimmen? Es ist eine schwere Frage, aber sie zeigt meiner Meinung nach genug Aufwand, um ihre Existenz zu rechtfertigen.

Manisherde

@DIMension10 Lesen Sie den ersten Absatz (das tldr) der Hausaufgabenrichtlinie.

Emilio Pisanty

Sie sind auf dem richtigen Weg, aber Sie sollten beachten, dass Ihre Formel für

ψ_{1}

$\psi_1$ ist falsch.

Sindbad der Seefahrer

Woher? Ich habe das verwendet, was WetSavannaAnimal alias Rod Vance mir gegeben hat, und ich habe das überprüft

H_{1} = x

$H_1=x$ dann habe ich nur den Ausdruck vereinfacht (das Hermite-Polynom)

Antworten (2)

Formulierung und Wahrscheinlichkeit einer Wellenfunktion [geschlossen]

Eine zeitabhängige Wellenfunktion hat die Form "(psi zum Zeitpunkt Null) mal (e zum -iEt)" nur dann, wenn "psi zum Zeitpunkt Null" ein Energieeigenzustand ist, dh diesen Energiewert mit 100%iger Wahrscheinlichkeit vorhersagt. Kennst du dich schon mit Eigenzuständen aus?
Warum bekommt das knappe Stimmen? Es ist eine schwere Frage, aber sie zeigt meiner Meinung nach genug Aufwand, um ihre Existenz zu rechtfertigen.
@DIMension10 Lesen Sie den ersten Absatz (das tldr) der Hausaufgabenrichtlinie.
Sie sind auf dem richtigen Weg, aber Sie sollten beachten, dass Ihre Formel für $\psi_1$ ist falsch.
Woher? Ich habe das verwendet, was WetSavannaAnimal alias Rod Vance mir gegeben hat, und ich habe das überprüft $H_1=x$ dann habe ich nur den Ausdruck vereinfacht (das Hermite-Polynom)

Selene Rouley · Answer 1

Ich helfe Ihnen bei der Beantwortung Ihrer zweiten Frage.

Aber zuerst gibt es einige Schwierigkeiten mit dem Problem, das Sie erhalten haben. Erstens ist Ihre Frage nicht vollständig spezifiziert: Sie müssen den Hamiltonian selbst haben, also brauchen Sie zumindest das Potenzial $V(x)$ . Der Ausdruck für $E_n$ Sie erhalten entweder einen harmonischen Quantenoszillator oder einen unendlichen Brunnen. Zweitens gibt es einen Tippfehler in Ihrem anfänglichen Quantenzustand. Die beiden Ungleichungen in der Definition sollten lauten $|x|<a$ Und $|x|>a$ (nicht $|x|<0$ , welche Nr $x\in\mathbb{R}$ erfüllt!).

Ich gehe also von einem unendlichen Brunnen aus, da dies mit der Fourier-Reihenmethode von Achmetelis Antwort zusammenhängt .

Wie in Akmetielis Antwort erweitern Sie den Quantenzustand in Energieeigenzustände $\mathcal{N}^{-1} \cos\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{a}x\right);\,n=0,1,2,\cdots$ (Wenn $|x|<a$ , nichts außerhalb des Intervalls) entsprechend den Energien $E_n$ (Hier $\mathcal{N}$ ist die Normalisierung vorzunehmen $\int_{-a}^a|\psi|^2dx=1$ .

Beachten Sie, dass dies eine diskrete Reihe ist. Die Energie nimmt keine kontinuierlichen Werte an, daher sind die Gewichte der quadrierten Größe Ihrer Fourier- Reihe (nicht integral wie bei kontinuierlich variierender Energie) die Wahrscheinlichkeiten, nicht die Wahrscheinlichkeitsdichten, dass der Quantenzustand in jeder Energie gefunden wird.

Wenn Sie also Ihre Fourier-Reihe machen, sollten Sie das überprüfen $\sum_n |w_n|^2 = 1$ , Wo $w_n$ sind die Fourier-Reihengewichte.

Jetzt die Wahrscheinlichkeit $|w_n|^2$ ändert sich nicht mit der Zeit. Die Phase der $w_n$ tut, also interferieren die Energie-Eigenzustände miteinander, um eine zeitvariable Wellenfunktion zu ergeben, aber die Wahrscheinlichkeiten, sich in jedem Energie-Eigenzustand zu befinden, sind konstant. Sie müssen also nicht einmal die Zeit kennen, wenn Sie Ihre Wahrscheinlichkeit berechnen.

Damit sollten Sie Ihre Frage beenden können.

Nächste Stufe: Da Sie es mit dem harmonischen Quantenoszillator zu tun haben, sind Ihre Energieeigenzustände die folgende Menge:

ψ_{N} (X) = \frac{1}{\sqrt{2^{N} N!}} \cdot {(\frac{M ω}{π ℏ})}^{1 / 4} \cdot e^{- \frac{M ω X^{2}}{2 ℏ}} \cdot H_{N} (\sqrt{\frac{M ω}{ℏ}} X), N = 0, 1, 2, \dots . (1)

$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{ - \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad n = 0,1,2,\ldots.\qquad(1)$

Wo $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$ ist der $n^{th}$ Hermitisches Polynom.

Diese Eigenfunktionen sind orthogonal in dem Sinne, dass:

⟨ ψ_{N}, ψ_{M} ⟩ \overset{D e F}{=} \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{N} (X)^{*} ψ_{M} (X) D X = δ_{M, N} (2)

$\left<\psi_n, \psi_m\right> \stackrel{def}{=} \int_{-\infty}^\infty \psi_n(x)^* \psi_m(x) {\rm d}x = \delta_{m,n}\qquad (2)$

dh das "innere Produkt" ist null für verschiedene diskrete Energieeigenfunktionen und 1 für $n=m$ , also ist jeder Eigenzustand "normalisiert" oder soll eine Einheits-"Länge" im Hilbert-Raum haben, der von den Energie-Eigenzuständen aufgespannt wird (machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie das alles nicht verstehen; das sind die Arten von Aussagen, die werden mehr und mehr an Sie gewöhnt, wenn Sie bei Ihrem Selbststudium bleiben). Die obige Orthogonalität ist der Schlüssel zu der Art der Zerlegung, von der Akhmeteli und ich gesprochen haben: jeder anfängliche Quantenzustand $\psi(x)$ kann in seine Energieeigenzustände aufgelöst werden, indem angenommen wird:

ψ (X) = \sum_{M = 0}^{\infty} w_{M} ψ_{M} (X) (3)

$\psi(x) = \sum\limits_{m=0}^\infty w_m \,\psi_m(x)\qquad(3)$

dann beide Seiten von (3) mit multiplizieren $m^{th}$ Eigenzustand wiederum und Integrieren über das gesamte reelle Intervall, wobei (2) angewendet wird, um zu finden (beachten Sie, dass wir die Reihe termweise integrieren können):

w_{M} = \int_{- \infty}^{\infty} ψ (X) ψ (M) D X (4)

$w_m = \int_{-\infty}^\infty \psi(x)\, \psi(m)\, {\rm d}x \,\qquad(4)$

Nun ist es das Gebiet der Spektraltheorie, das zeigt, dass unser Satz von Eigenfunktionen (1) vollständig ist , dh dass eine Summe der Art (3) tatsächlich (im angemessenen maßtheoretischen Sinne) jede stückweise Stetige darstellen kann $\psi(x)$ erfüllend $\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x < \infty$ , was natürlich für gültige Quantenzustände gilt, da wir haben müssen $\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x =1$ (Dies ist nur eine notwendige Bedingung für $|\psi(x)|^2$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein in $x$ ).

Sie werden schließlich lernen, dass diese "Orthogonalität" eine Eigenschaft aller Eigenfunktionen jeder Quantenobservable ist, nicht nur der Hamilton-Funktion. Dieses Ergebnis stammt aus der Sturm-Liouville-Theorie und ist auf die Selbstadjungiertheit von Quantenobservablen zurückzuführen (allgemeiner gilt es für jeden normalen Operator – einen, der mit seiner eigenen Adjungierten pendelt).

Beachten Sie schließlich, dass, da $\psi_n(x)$ ist der $n^{th}$ Energieeigenfunktion, ihre volle räumliche und zeitliche Variation ist $\psi_n(x, t) = \psi_n(x) \exp(-i E_n t/\hbar)$ . Sobald Sie also Ihren anfänglichen Quantenzustand in eine Überlagerung wie (3) aufgelöst haben, können Sie seine allgemeine Zeitabhängigkeit aufschreiben:

ψ (X, T) = \sum_{M = 0}^{\infty} (w_{M} ψ_{M} (X) e^{- ich \frac{E_{N}}{ℏ} T}) (5)

$\psi(x, t) = \sum\limits_{m=0}^\infty \left(w_m \,\psi_m(x)\,e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t}\right)\qquad(5)$

Damit solltest du etwas weiter kommen!

Gibt es eine andere Möglichkeit, das Problem zu umgehen, als die Fourier-Reihe zu verwenden (da ich damit noch nicht vertraut bin)? Außerdem haben wir den Hamoltionianer erhalten als: H=p^2/2m + 1/2*m\omega x^2, wobei p und x Operatoren sind.
@Axcelneo dann ist dies ein harmonischer Quantenoszillator. Daher werden Sie keine Fourier-Reihen verwenden. Sie werden wie im ersten Abschnitt von en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator zu einer allgemeinen orthogonalen Reihe der Hermite-Gauß-Modi expandieren . Sie sind alle orthogonal, daher erfolgt die Berechnung der Gewichte ebenfalls mit Fourier-Reihen. Sind Sie sicher, dass Ihnen die Zerlegung im Unterricht nicht gezeigt wurde? Schau mal in deinen Text - welchen verwendest du?
Ich lerne das Thema selbst, also wurde mir nichts gezeigt. Ich verwende Vorlesungen im Internet und The Feynman Lectures on Physics Volume III: Quantum Mechanics.
@Axcelneo Gut für dich. In diesem Fall finde ich eine Referenz für Sie. Feynman ist ausgezeichnet, aber er geht nicht durch das QHO IIRC. Können Sie zu einer Bibliothek gelangen - Merzebacher oder Griffiths finden?
Klar, aber ich möchte erst mal ein Gefühl für das Thema bekommen, bevor ich in die Literatur einsteige, d.h. ich möchte einfache Aufgaben wie die obige rechnen können, bevor ich mir ein Buch zum Thema greife. Feynman war zufällig in der Nähe.
@Axcelneo Ich habe ein bisschen mehr zum Kauen hinzugefügt. Ich weiß, was du damit meinst, eine Weile mit Problemen herumzuspielen, bevor du in die Literatur eintauchst, aber ich denke, es klingt, als wäre es an der Zeit, ein gutes Buch zu finden. Kämpfen Sie noch ein bisschen mit diesem Problem, und ich denke, Sie werden feststellen, dass viele Merzebacher oder Griffiths für Sie Sinn machen werden. Gut für Sie, dass Sie dieses Zeug selbst lernen - es dauert eine ganze Weile, bis Sie es verinnerlichen, also bleiben Sie dabei. Ich würde mir auch eine Kopie von Home Mathematica besorgen, wenn Sie keine haben: Die Home-Lizenz ist nicht zu unverschämt und lässt Sie Berechnungen leicht untersuchen.
Ich habe angefangen zu verstehen, was wir mit der Wellenfunktion tun, um sie in Eigenfunktionen zu zerlegen, um sie dann weiter zu manipulieren, aber was ich nicht verstehe, ist die Berechnung selbst. Wie gehe ich vor, um es tatsächlich zu zerlegen (da es sich um eine unendliche Summe handelt) und finde dann die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit den Einschränkungen zu finden, die gegeben waren?

Achmeteli · Answer 2

Sie können nicht einfach mit dem Exponenten "multiplizieren", da die Funktion kein Eigenzustand des freien Hamilton-Operators ist (ich denke, der freie Hamilton-Operator (kein Potenzial) wird im Problem angenommen). Sie sollten also die Ausgangsfunktion in eine Fourier-Reihe (eine Summe von Impuls-Eigenzuständen) entwickeln und erst dann die Terme in der Entwicklung mit den Exponenten mit den relevanten Energien multiplizieren.

EDIT (3.11.2013): Da sich herausstellt, dass der Hamiltonian der eines Oszillators ist, sollten Sie die Funktion in einer Reihe in den Eigenzuständen des Hamiltonians entwickeln. Siehe http://www.gauge-institute.org/delta/HermiteDelta.pdf , Formeln am Ende von S. 10 und am Anfang von Seite 11.

@Axcelneo: Zunächst einmal stellte sich nach Ihrem Kommentar zur Antwort von WetSavanna meine Vermutung, dass der Hamiltonian frei ist, als falsch heraus, also sollten Sie die Wellenfunktion zu einer Reihe in Eigenzuständen des Hamiltonians erweitern. Ich kann das Verfahren hier nicht beschreiben. Ich denke, Ihr Professor oder Ihr Buch hat einige Hinweise gegeben.

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