Wahrscheinlichkeit, Partikel auf der linken Seite zum Zeitpunkt ttt zu finden

Ich habe ein Problem mit einem Partikel in einer Box von Breite$a$. Ich versuche, die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, das Teilchen auf der linken Seite der Box zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden$t$. Die Wellenfunktion bei$t=0$wird von gegeben

$$|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |\phi_1\rangle + \frac{1}{2}|\phi_2\rangle + \frac{1}{2} |\phi_3\rangle,$$

Wo$\phi_n$ist die Wellenfunktion bei Ordnung$n$.

Mein Versuch: Ich habe die zeitunabhängigen Wellenfunktionen berechnet und normiert$\phi_n$und benutzten den Zeitentwicklungsoperator, um die zeitabhängigen Wellenfunktionen aufzuschreiben

$$|\psi(t)\rangle=\frac{e^{i E_{1} t / \hbar}}{\sqrt{2}}\left|\phi_{1}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{2} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{2}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{3} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{3}\right\rangle,$$

mit dem berühmten Ergebnis

$$|\phi_n \rangle = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( n \pi \frac{x}{a} \right).$$

Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, habe ich versucht zu berechnen

$$P(0 < x < a/2) = \left| \int_0^{a/2} \psi^*(t) \psi(t) dx \right|^2 \\ = \frac{\left(20 \sqrt{2} \cos \left( \frac{(E_2-E_1)}{\hbar} t \right) + 12 \cos \left(\frac{(E_3-E_2)}{\hbar} t \right)+15 \pi \right)^2}{900 \pi ^2}$$

Um zu überprüfen, ob meine Antwort Sinn macht, habe ich das zuerst überprüft

$$P(0<x<a)=1.$$

Aber wenn ich mir jetzt die Wahrscheinlichkeiten auf der linken und rechten Seite ansehe, addieren sie sich nicht zu eins

$$P(0<x<a/2) = 0.86, P(a/2<x<a) = 0.005$$

Was mache ich falsch?