Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für reelle Wellengleichungen

Question

Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für reelle Wellengleichungen

Maurizio Barbato

David Bohm liefert in Abschnitt (4.5) seiner wunderbaren Monographie Quantum Theory ein Argument, um zu zeigen, dass die Wellenfunktion eine physikalisch sinnvolle Theorie der Quantenphänomene aufbauen kann $\psi$ muss eine komplexe Funktion sein.

Seine Argumentation geht wie folgt. Betrachten Sie einfach den eindimensionalen Fall und lassen Sie

ψ = U + ich v,

$\psi=U + i V,$ mit

U

$U$ und

V

$V$ real. Aus der Schrödinger-Gleichung sieht man das leicht

U

$U$ und

V

$V$ die folgenden entkoppelten Gleichungen zweiter Ordnung erfüllen:

\frac{\partial^{2} U}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 m^{2}} \frac{\partial^{4} U}{\partial x^{4}}, \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 m^{2}} \frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} .

$\begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4},\\ \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4m^2} \frac{\partial^4 V}{\partial x^4}. \end{equation}$ Wir könnten dann daran denken, die Schrödinger-Gleichung für die komplexwertige Funktion zu ersetzen

ψ

$\psi$ mit zB obiger Gleichung für

U

$U$ , um also die gesamte Quantenmechanik darauf aufzubauen

U

$U$ . Dazu sollten wir in der Lage sein, eine positive Erhaltungswahrscheinlichkeit zu definieren

P

$P$ , definiert als Funktion von

U

$U$ , und die partiellen Ableitungen von

U

$U$ der Ordnung höchstens 1 in Bezug auf

t

$t$ (da die Anfangsdaten für unsere Gleichung zweiter Ordnung sind

U (x, 0)

$U(x,0)$ und

\frac{\partial U}{\partial t} (x, 0)

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)$ , benötigen wir

P (x, t)

$P(x,t)$ Aufgabe des Staates sein

U (x, t)

$U(x,t)$ und

\frac{\partial U}{\partial t} (x, t)

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)$ des Systems zur Zeit

t

$t$ und ihre räumlichen Ableitungen). Versuch es zB

P = \frac{1}{2} {(\frac{\partial U}{\partial t})}^{2} + \frac{ℏ^{2}}{8 m^{2}} {(\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}})}^{2} .

$\begin{equation} P=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial U}{\partial t} \right)^2 + \frac{\hbar^2}{8m^2} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)^2. \end{equation}$ Man sieht leicht, dass die folgende Kontinuitätsgleichung gilt

\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0,

$\begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x}=0, \end{equation}$ mit

J

$J$ definiert von

J = \frac{ℏ^{2}}{4 m^{2}} (\frac{\partial U}{\partial t} \frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} - \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial t}) .

$\begin{equation} J= \frac{\hbar^2}{4m^2} \left( \frac{\partial U}{\partial t} \frac{\partial^3 U}{\partial x^3} - \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial t} \right). \end{equation}$ So

P

$P$ ist positiv und erhalten. Trotzdem diese

P

$P$ ist physikalisch nicht akzeptabel, da wir die Lösung betrachten

U (x, t) = \cos (k x - ω t)

$U(x,t)=\cos(kx-\omega t)$ , wo

ω = \frac{ℏ k^{2}}{2 m}

$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$ , dann bekommen wir

P = \frac{ω^{2}}{2} = \frac{E^{2}}{2 ℏ^{2}} .

$\begin{equation} P=\frac{\omega^2}{2}=\frac{E^2}{2 \hbar^2}. \end{equation}$ In einer nichtrelativistischen Theorie sollte es möglich sein, den Nullpunkt der Energie beliebig zu wählen und trotzdem eine äquivalente Theorie zu erhalten. Aber in unserem Fall könnten wir den Energienullpunkt so wählen, um ihn zu erhalten

P = 0

$P=0$ , und wir müssen daraus schließen, dass unsere Definition der Wahrscheinlichkeit physikalisch nicht akzeptabel ist.

Nun stellt Bohm fest, dass diese Schlussfolgerung nicht nur für die spezifische Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt, die wir oben definiert haben, sondern für jede Wahrscheinlichkeit, die wir definieren könnten $U$ und die partiellen Ableitungen von $U$ der Ordnung höchstens 1 in Bezug auf $t$ .

Hat jemand eine Idee warum das generell so sein sollte?

ANMERKUNG 1). Bohm bringt seine Aussage nicht in eine streng mathematische Form, da er nicht genau definiert, was er unter einer "akzeptablen Wahrscheinlichkeitsfunktion" versteht. Er gibt nur die folgende vage Definition.

Lassen $P(x,t)$ sei nur eine Funktion von $U(x,t)$ , und die partiellen Ableitungen von $U$ der Ordnung höchstens 1 in Bezug auf $t$ alles eingerechnet $(x,t)$ , das heißt, es gibt eine nicht konstante Funktion $p$ so dass $P(x,t)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ , wo $D_{x}^d F$ ist die Menge aller partiellen Ableitungen von $F$ in Gedenken an $x$ ab Bestellung $0$ (das ist die Funktion selbst) zu bestellen $d$ .

Dann sagen wir das $P$ ist eine akzeptable Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt:

P ist reell und niemals negativ;
Die Quantität $\int P(x,t) dx$ bleibt für jede Lösung über die Zeit erhalten $U(x,t)$ der obigen Wellengleichung, so dass nach der Normalisierung $P$ wir können bekommen $\int P(x,t) dx=1$ für alle $t$ ;
die Bedeutung von $P$ hängt in kritischer Weise nicht von irgendeiner Größe ab, die aus allgemeinen physikalischen Gründen als irrelevant bekannt ist: insbesondere impliziert dies (da wir es mit einer nichtrelativistischen Theorie zu tun haben) dies $P$ darf nicht davon abhängen, wo der Energienullpunkt gewählt wird.

Diese Eigenschaften, mit Ausnahme der ersten, sind nicht genau formuliert, so dass sie mathematisch etwas genauer formuliert werden müssen. Insbesondere die Eigenschaft (2) scheint Bohm in dem Sinne zu interpretieren, dass es eine Funktionsfunktion gibt $j$ , so dass, wenn wir setzen $J(x,t)=j \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ , gilt die folgende Kontinuitätsgleichung

\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0.

$\begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0. \end{equation}$ Was die Eigenschaft (3) betrifft, könnten wir sie, indem wir Bohm folgen, so interpretieren, dass sie dies für die spezielle Lösung erfordert

U (x, t) = \cos (\sqrt{\frac{2 m ω}{ℏ}} x - ω t)

$U(x,t)=\cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right)$ Wir müssen eine Wahrscheinlichkeitsfunktion erhalten

P (x, t)

$P(x,t)$ was unabhängig ist von

ω

$\omega$ .

Halten wir ausdrücklich fest, dass Bohm in seiner vorangegangenen Diskussion über die Definition der Wahrscheinlichkeit für die Schrödinger-Gleichung eine weitere Eigenschaft fordert, die in unserem Zusammenhang lauten würde:

Die Wahrscheinlichkeit $P$ ist groß, wenn $|U|$ ist groß und klein, wenn $|U|$ ist klein.

Jedenfalls können wir diese weitere Eigenschaft hier nicht fordern. In der Tat, wenn wir die Eigenschaft (4) ernst nehmen, indem wir sie in dem Sinne interpretieren, dass $P_{U_1}(x,t) \geq P_{U_2}(x,t)$ für jeweils zwei Lösungen $U_1$ und $U_2$ mit $|U_1(x,t)| \geq |U_2(x,t)|$ , dann würden wir das bekommen $P(x,t)=p(|U(x,t)|)$ , wo $p$ eine nicht abnehmende Funktion ist (für einen Beweis siehe das Lemma in dieser Antwort ). Aber dann, indem man die jeweilige Lösung betrachtet $U(x,t)=U_0 \cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right)$ , wo $U_0$ ist eine Konstante, wir sehen, dass die Unabhängigkeit von $P(x,t)$ von $\omega$ würde das implizieren $p$ ist eine konstante Funktion.

Eine detaillierte mathematische Formulierung von Bohms Aussage finden Sie in meinem Beitrag zu MathOverflow Conserved Positive Charge for a PDE .

ANMERKUNG 2). Eine andere und vielleicht natürlichere Interpretation von Eigenschaft (3) kann auf folgende Weise gegeben werden. Gehen wir von der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen bei einem Potential aus $W(x)$

ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ (x, t) + W (x) ψ (x, t),

$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) + W(x) \psi(x,t), \end{equation}$ dann bekommen wir leicht den realen Teil

U

$U$ von

ψ

$\psi$ erfüllt die folgende Gleichung zweiter Ordnung

\frac{\partial^{2} U}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 m^{2}} \frac{\partial^{4} U}{\partial x^{4}} + \frac{W}{m} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{W^{'}}{m} \frac{\partial U}{\partial x} + (\frac{W^{″}}{2 m} - \frac{W^{2}}{ℏ^{2}}) U .

$\begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4 m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4}+ \frac{W}{m} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} +\frac{W’}{m} \frac{\partial U}{\partial x} + \left( \frac{W’’}{2m} - \frac{W^2}{\hbar^2} \right) U . \end{equation}$ Nun kann Eigenschaft (3) folgendermaßen interpretiert werden: if

U

$U$ ist die dem Potential entsprechende Lösung

W (x)

$W(x)$ und gegebenen Anfangsbedingungen, und

\tilde{U}

$\tilde{U}$ entspricht den gleichen Anfangsbedingungen und dem Potential

W (x) + W_{0}

$W(x)+W_0$ , wo

W_{0}

$W_0$ ist dann eine Konstante

P (x, t)

$P(x,t)$ sollte bei der Berechnung die gleiche Funktion sein

U

$U$ und

\tilde{U}

$\tilde{U}$ . Ich bezweifle, dass eine solche Wahrscheinlichkeitsfunktion

p

$p$ existiert, und vielleicht ist dies der Kern von Bohms Aussage. Durch die Verwendung dieser Idee habe ich eine alternative mathematische Interpretation von Bohms Aussage im Beitrag Conserved Current for a PDE gegeben .

NOTIZ 3). Siehe auch meinen verwandten Beitrag Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für die Klein-Gordon-Gleichung , in dem im Wesentlichen das gleiche Problem in einem relativistischen Umfeld in Bezug auf die bekannte Klein-Gordon-Gleichung auftaucht. In dem anderen Beitrag von mir Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung wird ein analoges Problem in Bezug auf die Schrödinger-Gleichung diskutiert. Vermutlich hatte Bohm dasselbe mathematische Werkzeug im Sinn, um all diese drei Probleme zu lösen.

Biophysiker

Nun, was hast du bisher versucht?

Maurizio Barbato

Lieber Aaron, ich habe keine Ahnung von einem möglichen Argument, auch weil meine Intuition darauf hindeutet, dass die Aussage falsch ist. Ich habe die Ausgabe hier gepostet, weil ich dachte, da Bohms Buch sehr beliebt war, hatte sich schon einmal jemand mit diesen Themen beschäftigt.

Biophysiker

Leider ist das nicht mein Fachgebiet, deswegen habe ich gefragt. Ich weiß nicht, warum Sie denken, dass es falsch ist, aber ich würde verstehen, wenn Sie sagen würden, dass die Aussage im Allgemeinen keinen Beweis zu haben scheint. Ich denke, was Sie tun müssten, um dies zu beweisen, ist eine allgemeine Funktion von aufzuschreiben

U

$U$ und ihre partiellen Ableitungen, und zeigen Sie dann, dass wir mit dieser allgemeinen Funktion unsinnige Ergebnisse erhalten. Vielleicht könnte dies eine gute Frage auf der Austauschseite für Mathematikstapel sein, wenn Sie sie richtig formuliert haben?

Antworten (3)

Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für reelle Wellengleichungen

Lieber Aaron, ich habe keine Ahnung von einem möglichen Argument, auch weil meine Intuition darauf hindeutet, dass die Aussage falsch ist. Ich habe die Ausgabe hier gepostet, weil ich dachte, da Bohms Buch sehr beliebt war, hatte sich schon einmal jemand mit diesen Themen beschäftigt.
Leider ist das nicht mein Fachgebiet, deswegen habe ich gefragt. Ich weiß nicht, warum Sie denken, dass es falsch ist, aber ich würde verstehen, wenn Sie sagen würden, dass die Aussage im Allgemeinen keinen Beweis zu haben scheint. Ich denke, was Sie tun müssten, um dies zu beweisen, ist eine allgemeine Funktion von aufzuschreiben $U$ und ihre partiellen Ableitungen, und zeigen Sie dann, dass wir mit dieser allgemeinen Funktion unsinnige Ergebnisse erhalten. Vielleicht könnte dies eine gute Frage auf der Austauschseite für Mathematikstapel sein, wenn Sie sie richtig formuliert haben?

Achmeteli · Answer 1

Sieht so aus, als würde sich Böhms Beweis mit einem freien Teilchen befassen, was nicht sehr realistisch ist. Wenn Sie jedoch die Schrödinger- oder Klein-Gordon-Gleichung betrachten, beispielsweise im elektromagnetischen Feld, können Sie die Wellenfunktion durch eine Eichtransformation (zumindest lokal) real machen, wie von Schrödinger in Nature (1952), v.169, bemerkt. S.538. Für den Fall der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld, wie in meinem Artikel in J. Math. gezeigt, kann auch nur eine reelle Funktion ausreichend sein . Phys.

Maurizio Barbato · Answer 2

Maurizio Barbato

Nach langer Suche in der Literatur muss ich zu dem Schluss kommen, dass die von Bohm aufgeworfene Frage kein Interesse geweckt hat, vielleicht weil niemand jemals Zweifel an der Unmöglichkeit hegte, die Quantenmechanik mit einer echten Wellenfunktion aufzubauen.

Ich habe versucht, in meinem Beitrag Conserved Current for a PDE zwei präzise mathematische Formulierungen von Bohms Nichtexistenzaussage zu geben , aber wie ich in meiner Antwort dort argumentierte, scheint keine der beiden eine getreue mathematische Übersetzung von Bohms physikalischen Aussagen zu sein.

Vielleicht werden wir nie erfahren, welches physikalische und mathematische Argument Bohm im Sinn hatte, nicht ob er tatsächlich eines hatte. Er hätte in seinem Buch vielleicht ohne Zögern eine Bemerkung von RJ Oppenheimer zitieren können (dessen Vorlesungen an der University of California in Berkeley einen großen Teil von Bohms Abhandlung inspirierten) oder er hätte einfach etwas sagen können, das er für intuitiv offensichtlich hielt, ohne sich Gedanken über einen möglichen Beweis zu machen. Wir können nicht wissen, wie der Verstand eines Genies funktioniert ... und David Bohm war ein absolutes Genie!

Biophysiker

Ich vermute, es hat nicht viel Interesse geweckt, weil es sich nicht auszahlt, dies zu beweisen oder zu widerlegen. Komplexe Wellenfunktionen funktionieren sehr gut, und es ist nicht so, dass wir Probleme mit ihrer Verwendung haben, wenn nur echte Wellenfunktionen benötigt werden.

Maurizio Barbato

Nun, vielleicht haben Sie Recht ... aber Sie müssen zugeben, dass es zumindest eine seltsame Tatsache ist, dass Sie in der Quantenmechanik mit komplexen Größen umgehen müssen, eine Situation, die völlig anders ist als die aller früheren physikalischen Theorien, in denen komplexe Größen eingeführt wurden nur als mathematische Tricks, um bestimmte Probleme zu lösen oder kompaktere Notationen zu haben. Ich denke, diese Art von Gefühl hat Bohm dazu gebracht, die Möglichkeit zu untersuchen, komplexe Wellenfunktionen zugunsten echter zu verwerfen.

Biophysiker

Ja... QM ist komisch :) haha

AtmosphericPrisonEscape

Deiner Aussage @MaurizioBarbato würde ich insofern zustimmen, dass man oft hört „QM ist notwendigerweise komplex, es ist nicht nur nützlich“ und mir fällt aus dem Vortrag kein guter Grund dafür ein.

Maurizio Barbato

@AtmosphericPrisonEscape Ja, dieses grundlegende Problem wurde wie viele andere völlig übersehen. Ich denke, dies ist die Auswirkung der abstrakten Denkweise, die sich in der Physik des 20. Jahrhunderts immer mehr durchsetzte (und dieser Trend setzt sich bis heute ungebremst fort). Sie verleiht der QM und nachfolgenden Theorien einen völlig anderen Charakter als klassische Theorien wie die Mechanik von Galilei und Newton oder die elektromagnetische Theorie von Faraday und Maxwell.

Maurizio Barbato

In dieser Hinsicht war Böhm ein Gigant unter Giganten. Er unternahm große Anstrengungen, um die physikalische Bedeutung jedes eingeführten mathematischen Formalismus und seine Rolle in der gesamten konzeptionellen Architektur von QM zu untersuchen. Er ging davon aus, dass eine physikalische Theorie nicht einfach eine Liste von Axiomen oder Regeln sein kann, sondern zuallererst durch eine Reihe sorgfältig definierter Konzepte definiert ist, die klar miteinander in Beziehung stehen. Das ist meiner bescheidenen Meinung nach der Grund, warum Bohms Abhandlung auch heute noch eine grundlegende Lektüre für jeden Physiker ist, der wirklich verstehen will, was eigentlich QM ist.

wahrscheinlich_jemand

@AtmosphericPrisonEscape Hängt davon ab, was Sie unter "notwendigerweise komplex" verstehen. Da es eine Matrixdarstellung der komplexen Zahlen gibt, die nur reelle Zahlen enthält, könnten Sie alles in QM tun, ohne jemals eine zu sehen

i

$i$ Wenn du wolltest. Allerdings ist die Anforderung, dass man Gruppen mit genügend Struktur verwendet, um nicht trivial mit komplexen Zahlen dargestellt zu werden, ziemlich grundlegend. Will man zum Beispiel infinitesimale Rotationen beschreiben, müssen diese leben

S U (2)

$SU(2)$ , die fast immer mit komplexen 2x2-Matrizen dargestellt wird, da echte 4x4-Matrizen umständlich sind.

Maurizio Barbato

@probably_someone Es steht außer Frage, dass alle relevanten mathematischen Strukturen der QM komplex sind. Nur in sehr formalistischer Denkweise können wir komplexe Zahlen auf ihre formale Definition als geordnete Paare reeller Zahlen mit gegebenen algebraischen Kompositionsregeln zurückführen!

wahrscheinlich_jemand

@MaurizioBarbato Ich spreche nicht von irgendeiner "formalen Definition als geordnete Paare reeller Zahlen mit gegebenen algebraischen Kompositionsregeln". Ich spreche von der Tatsache, dass jede komplexe Zahl

a + b i

$a+bi$ verhält sich identisch zur 2x2-Matrix

[\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}$ . Keine speziellen Kompositionsregeln erforderlich, nur gewöhnliche Matrizenmultiplikation.

Maurizio Barbato

@probably_someone Ja, aber Sie beschreiben einfach dieselbe mathematische Struktur mit einer anderen Darstellung. Was ist der Gewinn?

wahrscheinlich_jemand

@MaurizioBarbato Soweit ich verstanden habe, bezog sich Ihr Einwand auf die Verwendung komplexer Zahlen zur Beschreibung von QM. Diese Darstellung von

U (1)

$U(1)$ vermeidet komplexe Zahlen vollständig. Aber jetzt bin ich mir nicht sicher, weil Sie anscheinend Einwände gegen die Tatsache erheben, dass QM auf eine Weise funktioniert, die eine Struktur erfordert, die sich am einfachsten mit komplexen Zahlen darstellen lässt. Diese Komplexität verschwindet nicht in der Bohmschen Mechanik, sie ist nur in den Details der Nicht-Lokalität von Wechselwirkungen verborgen, anstatt in der Notwendigkeit nicht unbedingt realer Wellenfunktionen explizit gemacht zu werden.

Maurizio Barbato

@probably_someone Mein Interesse an diesem Thema ist rein mathematisch. Ich frage mich, wie Bohm eine so allgemeine Aussage machen konnte. Ich bin ziemlich überzeugt, dass er eine präzise mathematische Technik im Sinn hatte, um dieses interessante mathematische Problem zu lösen, nämlich eine erhaltene Ladung für die gegebene PDE mit den erforderlichen Eigenschaften zu finden.

wahrscheinlich_jemand

@MaurizioBarbato Richtiger ausgedrückt, wenn wir sagen: "Die Wellenfunktion muss komplex sein", meinen wir eigentlich: "Die Wellenfunktion muss genug Struktur haben, um nicht trivial als komplex dargestellt zu werden." Die Kompliziertheit von QM ist eine Tatsache der Gruppenstruktur , unabhängig von Ihrer Wahl der Repräsentation.

wahrscheinlich_jemand

@MaurizioBarbato Wenn das stimmt, dann sollte man auf Sätze wie "Es steht außer Frage, dass alle relevanten mathematischen Strukturen der QM komplex sind" verzichten.

Maurizio Barbato · Answer 3

Nachdem ich lange über diese Frage nachgedacht habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass das, was Böhm wirklich meinte, viel einfacher sein muss, als ich in meinen früheren Spekulationen vermutet hatte.

Ich habe bereits in meiner ANMERKUNG (2) zum Beitrag angemerkt, dass das von Bohm angegebene Unmöglichkeitsergebnis trivial ist, wenn wir Eigenschaft (4) in der dort angegebenen Form annehmen. Tatsächlich habe ich jetzt erkannt, dass wir, obwohl wir eine Art "schwache Form" dieser Eigenschaft annehmen, immer noch den Unmöglichkeits-"Satz" von Bohm beweisen können. Genauer gesagt werde ich in dieser Antwort zeigen, dass unter der Annahme, dass $p(X_1,\dots,X_{2d+2})$ ist ein solches Polynom $p(0,\dots,0)=0$ , wenn $P(x,y)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ ist unabhängig von $\omega$ für die Sonderlösung

U (x, t) = \cos (\sqrt{\frac{2 m ω}{ℏ}} x - ω t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right), \end{equation}$ dann müssen wir das haben

(x, t) \mapsto P (x, t)

$(x,t) \mapsto P(x,t)$ ist identisch gleich Null. Jetzt seit

P

$P$ die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte haben muss, ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte überall von Null für eine Wellenfunktion ungleich Null physikalisch nicht akzeptabel, was das Unmöglichkeitsergebnis von Bohm beweist. Beachten Sie, dass die Annahme, dass

p (0, \dots, 0) = 0

$p(0,\dots,0)=0$ ist sehr natürlich, da es einfach besagt, dass für eine lokal Null-Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte Null sein muss. Beachten Sie auch, dass die Annahme, dass

p (X_{1}, \dots, X_{2 d + 2})

$p(X_1,\dots,X_{2d+2})$ ein Polynom ist, ist auch ganz natürlich, da wir Erhaltungsgrößen mit einem "einfachen" Ausdruck suchen.

Jetzt der Beweis. Der Einfachheit halber werden wir schreiben $\omega$ als Funktion von $k$ , anstatt das Gegenteil zu machen, wie wir es in der Post getan haben. Also schreiben wir unsere spezielle Lösung als

U (x, t) = \cos (k x - \frac{ℏ k^{2}}{2 m} t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t \right), \end{equation}$ Wir zeigen zunächst für diese Lösung unter unseren Annahmen die Abbildung

(x, t) \mapsto P (x, t)

$(x,t) \mapsto P(x,t)$ muss eine Konstante sein. Eigenschaft (3) ist äquivalent, also sagen wir das

P (x, t)

$P(x,t)$ ist unabhängig von

k > 0

$k > 0$ für jeden

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$ . Nun zur Sonderlösung

U (x, t)

$U(x,t)$ betrachtet, das haben wir

P (x, t) = F (x - v t)

$P(x,t)=F(x-vt)$ für irgendeine Funktion

F

$F$ , wo

v = \frac{ℏ k}{2 m}

$v=\frac{\hbar k}{2m}$ . Wenn wir hätten

F^{'} (ξ) \neq 0

$F'(\xi)\neq 0$ für einige

ξ \in R

$\xi \in \mathbb{R}$ , würden wir für bekommen

x - v t = ξ

$x-vt=\xi$ :

\frac{\partial P}{\partial t} (x, t) / \frac{\partial P}{\partial x} (x, t) = - v = \frac{ℏ k}{2 m},

$\begin{equation} \left. \frac{\partial P}{\partial t}(x,t) \middle/ \frac{\partial P}{\partial x}(x,t) \right. = -v = \frac{\hbar k}{2m}, \end{equation}$ ein Widerspruch.

Also für einige konstant $c \in \mathbb{R}$ wir haben $P(x,t)=c$ für alle $k > 0$ und alles $(x,y) \in \mathbb{R^2}$ . Zur Vereinfachung der Notation $y=kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t$ . Beachten Sie, dass $P(x,t)$ ist ein Polynom in $\sin y$ , $\cos y$ und $k$ . Durch Ersetzen $\cos^2 y$ von $1-\sin^2 y$ , $\cos^4 y$ von $(1-\sin^2 y)^2$ , ... und $\cos^3 y$ von $(1-\sin^2 y)\cos y$ , $\cos^5 y$ von $(1-\sin^2 y)^2 \cos y$ , ..., das verstehen wir

P (x, t) = \sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) {Sünde}^{l} (j) + \cos (j) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) {Sünde}^{n} (j),

$\begin{equation} P(x,t)= \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y) + \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y), \end{equation}$ wo

a_{l} (k)

$a_l(k)$ und

b_{n} (k)

$b_n(k)$ sind Polynome in

k

$k$ . Legen Sie einen Wert von fest

k

$k$ . Seit

P (x, t)

$P(x,t)$ ist für alle konstant

(x, t)

$(x,t)$ , erhalten wir für jeden Wert von

y

$y$ :

\sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) {Sünde}^{l} (j) + \cos (j) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) {Sünde}^{n} (j) = = \sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) {Sünde}^{l} (π - j) + \cos (π - j) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) {Sünde}^{n} (π - j),

$\begin{equation} \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y) + \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y) = \\ = \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(\pi-y) + \cos(\pi-y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(\pi-y), \end{equation}$ damit

\cos (j) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) {Sünde}^{n} (j) = 0,

$\begin{equation} \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y)=0, \end{equation}$ was das für jeden impliziert

y \neq \frac{π}{2} + r π

$y \neq \frac{\pi}{2} + r \pi$ , mit

r

$r$ Ganzzahl haben wir

\sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) {Sünde}^{n} (j) = 0,

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y)=0, \end{equation}$ also das Polynom

Q (z) = \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) z^{n} = 0

$Q(z)= \sum_{n=0}^{N} b_n(k) z^n=0$ lässt unendlich viele Nullen zu. Wir schließen daraus

b_{0} (k) = \dots = b_{N} (k) = 0

$b_0(k)=\dots=b_N(k)=0$ . Aber dann

c = P (x, t) = \sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) {Sünde}^{l} (j),

$\begin{equation} c=P(x,t)=\sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y), \end{equation}$ und so jetzt das Polynom

R (z) = - c + \sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) z^{l}

$R(z)=- c + \sum_{l=0}^{L} a_l(k) z^l$ hat unendlich viele Nullen, was impliziert

a_{1} (k) = \dots = a_{L} (k) = 0

$a_1(k)=\dots=a_L(k)=0$ und

a_{0} (k) = c

$a_0(k)=c$ . Aber wir haben

a_{0} (k) = p (0, \dots, 0) = 0

$a_0(k)=p(0,\dots,0)=0$ , damit wir das schließen

c = 0

$c=0$ . QED

Jetzt, da ich den Beweis beendet habe, erkenne ich, dass ein viel einfacherer Beweis gegeben werden kann, der tatsächlich verwendet werden kann, um ein viel allgemeineres Ergebnis zu erhalten.

Satz Let $p:\mathbb{R}^{2d+2} \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion sein, so dass $p(\mathbf{0})=0$ . Lassen

U (x, t) = \cos (k x - \frac{ℏ k^{2}}{2 m} t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t \right), \end{equation}$ und definiere die Menge

P (x, j) = p ((D_{x}^{d} U) (x, t), (D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}) (x, t)) .

$\begin{equation} P(x,y)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right). \end{equation}$ Nehme das jeweils an

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$

P (x, t)

$P(x,t)$ ist unabhängig von

k > 0

$k > 0$ . Dann haben wir

P (x, t) = 0

$P(x,t)=0$ für alle

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$ .

Beweis Lassen Sie uns zunächst dies unter unseren Annahmen festhalten $(x,t) \mapsto P(x,t)$ ist eine konstante Karte. In der Tat, angesichts der Form von $U(x,t)$ , wir haben $P(x,t)=F(x-vt)$ für eine stetige Funktion $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , wo $v=\frac{\hbar k}{2m}$ wie oben. Nun, für alle gegeben $t > 0$ , der Wert von $P(0,t)=F(-vt)$ hängt nicht davon ab $k > 0$ , damit wir das bekommen $F$ ist ständig an $[0,\infty)$ . Durch das gleiche Argument wie jetzt $t < 0$ , das leiten wir ab $F$ ist ständig an $(-\infty, 0]$ . Somit $F$ ist ständig an $\mathbb{R}$ , so dass für einige $c \in \mathbb{R}$ , wir haben $P(x,t)= c$ für alle $(x,t) \in \mathbb{R}^2$ . Nun, für jeden festen Wert von $k > 0$ , indem Sie Werte von auswählen $(x,t)$ so dass $kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t = \frac{\pi}{2}$ , wir bekommen

p (0, - k, 0, k^{3}, \dots, 0, (- 1)^{r} k^{2 r - 1}, \frac{ℏ k^{2}}{2 m}, 0, - \frac{ℏ k^{4}}{2 m}, 0, \dots, (- 1)^{r - 1} \frac{ℏ k^{2 r}}{2 m}, 0) = c

$\begin{equation} p\left(0,-k,0,k^3,\dots,0,(-1)^r k^{2r-1},\frac{\hbar k^2}{2m},0,-\frac{\hbar k^4}{2m},0,\dots,(-1)^{r-1}\frac{\hbar k^{2r}}{2m},0\right)=c \end{equation}$ wann

d = 2 r - 1

$d=2r-1$ ist seltsam, und

p (0, - k, 0, k^{3}, \dots, 0, (- 1)^{r} k^{2 r - 1}, 0, \frac{ℏ k^{2}}{2 m}, 0, - \frac{ℏ k^{4}}{2 m}, 0, \dots, (- 1)^{r - 1} \frac{ℏ k^{2 r}}{2 m}, 0, (- 1)^{r} \frac{ℏ k^{2 r + 2}}{2 m}) = c

$\begin{equation} p\left(0,-k,0,k^3,\dots,0,(-1)^r k^{2r-1},0,\frac{\hbar k^2}{2m},0,-\frac{\hbar k^4}{2m},0,\dots,(-1)^{r-1}\frac{\hbar k^{2r}}{2m},0,(-1)^{r}\frac{\hbar k^{2r+2}}{2m}\right)=c \end{equation}$ wann

d = 2 r

$d=2r$ ist gerade. Indem man die Grenze der obigen Ausdrücke als nimmt

k \to 0

$k \rightarrow 0$ , erhalten wir in beiden Fällen

c = 0

$c=0$ . QED

Ich denke, dieses sehr einfache Ergebnis sollte Böhm im Sinn haben, als er seine Aussage machte. Sie gehört eigentlich zu den heuristischen Überlegungen, die Physiker bei der Suche nach dem richtigen physikalischen Gesetz eines neuen Phänomens leiten, wenn keine klare Theorie zur Hand ist, und genau das war zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts der Fall, als die Quantenmechanik geboren wurde . Bohm hat in seinem fantastischen Buch versucht, den Prozess der Entdeckung der Quantengesetze genau nachzubilden, weil er fest davon überzeugt war, dass wir nur durch Spekulieren über die möglichen Wege, die man bei der Entwicklung der Quantenmechanik einschlagen kann, eine echte Vertrautheit mit diesem Seltsamen und Unintuitiven entwickeln können Theorie, und wir können wirklich versuchen, die physikalische Bedeutung der Konzepte zu verstehen, die hinter ihren abstrakten mathematischen Formalismen verborgen sind.

Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für reelle Wellengleichungen

Maurizio Barbato

Biophysiker

Maurizio Barbato

Biophysiker

Antworten (3)

Achmeteli

Maurizio Barbato

Biophysiker

Maurizio Barbato

Biophysiker

AtmosphericPrisonEscape

Maurizio Barbato

Maurizio Barbato

wahrscheinlich_jemand

Maurizio Barbato

wahrscheinlich_jemand

Maurizio Barbato

wahrscheinlich_jemand

Maurizio Barbato

wahrscheinlich_jemand

wahrscheinlich_jemand

Maurizio Barbato

Warum ist ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx − \omega t)} eine gültige Wellenfunktion, da sie auf RR\Bbb R nicht endlich integrierbar ist?

Variationsableitung der Schrödinger-Gleichung

Amplitude der Wahrscheinlichkeitsamplitude. Welches ist es?

Warum werden Wellenfunktionen in der Quantenmechanik als komplexe kreisförmige Wellen statt als echte ebene Wellen dargestellt?

Was bedeutet die Schrödinger-Gleichung wirklich?

Physikalische Interpretation komplexer Zahlen [Duplikat]

Bedeutung von iii in der Schrödinger-Gleichung [Duplikat]

Warum verwenden wir ψψ\psi statt einer einfachen Wahrscheinlichkeit?

Ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung so zu formulieren, dass imaginäre Zahlen ausgeschlossen werden? [Duplikat]

Das Konjugat der Schrödinger-Gleichungslösung