Physikalische Interpretation komplexer Zahlen [Duplikat]

Komplexe Zahlen werden in der gesamten Mathematik verwendet und daher auch in anderen Bereichen, die Mathematik erfordern. nicht nur Physik, sondern auch Ingenieurwissenschaften und andere Bereiche. Der Versuch, einer komplexen Zahl eine "physikalische Interpretation" zuzuordnen, wäre so, als würde man einer reellen Zahl, wie der Zahl 5, eine physikalische Interpretation zuweisen.

Eine komplexe Zahl ist nur eine Erweiterung einer reellen Zahl. Vielen von uns wurde in der Grundschule der „ Zahlenstrahl “ beigebracht , der nur ein Strich ist, der (um Wikipedia zu zitieren) als Abstraktion für reelle Zahlen dient. Da es sich um eine Linie handelt, ist es 1-dimensional. Komplexe Zahlen sind gleich, außer dass sie 2-dimensional sind: Anstatt durch eine 1-dimensionale reelle Zahlenlinie beschrieben zu werden, werden sie durch eine 2-dimensionale „ komplexe Zahlenebene “ beschrieben. Verwenden$i$für die imaginäre Achse (wobei$i^2 = -1$) ist eine mathematische Annehmlichkeit, die die zweidimensionalen komplexen Zahlen außerordentlich nützlich macht.

Komplexe Zahlen werden in der "Makro"-Physik verwendet. Sie werden bei der Analyse elektrischer Schaltungen (insbesondere wenn Wechselstrom beteiligt ist) und in der Fluiddynamik verwendet. Die Lösung von Differentialgleichungen wird vereinfacht, wenn komplexe Zahlen verwendet werden, ebenso wie die Fourier-Analyse. Jedes Szenario, das periodische oder zyklische Funktionen beinhaltet, kann mit komplexen Zahlen modelliert werden.

Das grundlegende Objekt in der Quantenmechanik ist die Amplitude , die Informationen darüber codiert, wie ein System von einem Zustand in einen anderen Zustand übergeht. Wenn Sie beispielsweise ein Doppelspaltexperiment durchführen, interessiert es Sie vielleicht, wie ein Elektron vom ankommenden Vorspaltzustand in einen Zustand übergeht, in dem es auf eine bestimmte Stelle trifft$x$auf dem Detektor. Für jeden unterschiedlichen Ergebniszustand würde es eine unterschiedliche Amplitude geben$\mathcal{M}_x$.

Wir interessieren uns für Amplituden, weil sie uns etwas über Wahrscheinlichkeiten sagen können. Nach der Bornschen Regel die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron am Ort landet$x$ist durch den absoluten Wert des Quadrats der Amplitude gegeben,$P(x) = |\mathcal{M}_x|^2$.

Die Wahrscheinlichkeit ist eine nicht negative reelle Zahl, aber was für ein Objekt soll die Amplitude darstellen? Eine positive reelle Zahl? Irgendeine reelle Zahl? Ein Paar reeller Zahlen? Eine komplexe Zahl? Ein noch abstrakteres mathematisches Objekt?

Dieser Aufsatz befasst sich mit der Frage, indem er feststellt, dass, da Amplituden verschiedenen Experimenten entsprechen und Experimente auf verschiedene Weise miteinander verkettet werden können, wir in der Lage sein müssen, zwei Amplituden zu kombinieren, um eine dritte Amplitude zu erhalten, und dass wir in der Lage sein müssen, sie zu kombinieren mindestens zwei unterschiedliche Wege. Das Papier beweist dann, dass, wenn Sie sich dafür entscheiden, Amplituden als Paare reeller Zahlen darzustellen, die Operationen, die dem Kombinieren von Experimenten entsprechen, sich genau wie komplexe Addition und komplexe Multiplikation verhalten.

Das Papier beantwortet nicht die Frage, warum Amplituden Paare reeller Zahlen sein sollten, anstatt einzelne reelle Zahlen, oder Tripel oder etwas Komplexeres, aber es ist ein guter Ausgangspunkt, um zu sehen, wie komplexe Arithmetik aus der Logik von Quantenexperimenten herausfällt.

PS Die Verwendung einzelner reeller Zahlen für Amplituden kann das Einzelspalt- / Doppelspalt-Experiment nicht erklären, bei dem das Hinzufügen eines zweiten Spalts zu Nullen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung führt, die in der Einzelspalt-Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht vorhanden waren. Die Verwendung eines Paares reeller Zahlen (oder einer komplexen Zahl) ist das nächsteinfachste System, das dieses Verhalten erklären kann.

Die komplexe Zahl, da jede Zahl allein überhaupt nichts über die Physik aussagt. Es muss an eine oder mehrere Maßeinheiten gebunden sein oder eine wohldefinierte Definition in der Physik haben.

Zum Beispiel wird der komplexe Brechungsindex in der Physik definiert als:

Hier Imaginärteil$\kappa$ist definiert als Dämpfungskoeffizient - materieller Widerstand gegen das Eindringen von Lichtwellen

BEARBEITEN

Komplexe Zahlen werden intensiv zur Beschreibung jeder Art von Wellen verwendet, da Sie Wellenamplitude und Wellenphase in einer einzigen komplexwertigen Wellenamplitude zusammenfassen können:

Die meisten Dinge, die mit Wellen zu tun haben, können also zumindest theoretisch in komplexen Zahlen ausgedrückt werden.
Beispielsweise kann ein komplexer Brechungsindex so auf andere Welleneigenschaften zurückgeführt werden:

BONUS

Ein weiterer Grund, warum komplexe Ebenen attraktiv sind – Sie können mehr rechnen, wenn Sie nicht an reelle Zahlen gebunden sind. Zum Beispiel können Sie sogar einen natürlichen Logarithmus einer negativen reellen Zahl nehmen:

was zu einer komplexen Zahl führt! Vertrauen Sie also niemals Ihrem Taschenrechner

Komplexe Zahlen sind nur eine bequeme Möglichkeit, einen zweidimensionalen Vektor darzustellen. Sie werden in allen möglichen Alltagssituationen verwendet, in denen Sie eine X- und eine Y-Komponente oder einen Betrag und eine Phase haben.

Komplexe Zahlen machen zwei offensichtliche Dinge. Wenn Sie sie sich als 2D-Vektoren auf einer Ebene vorstellen, beginnend an einem beliebigen Punkt (0,0), dann ist das Addieren komplexer Zahlen eine Vektoraddition.

Und wenn Sie sie sich als Winkel von einem beliebigen Polarkoordinatenwinkel (0,1) vorstellen, dann erhalten Sie, wenn Sie zwei davon multiplizieren, die Summe der Winkel (und das Produkt der Größen).

Das kann nützlich sein, wenn Sie etwas haben, das wie eine 2D-Ebene funktioniert, wo Sie eine Vektoraddition oder eine Addition von Winkeln durchführen möchten.

So kann zum Beispiel ein Pendel kinetische Energie und potentielle Energie haben, und meistens ist die Summe davon konstant. Sie sind zwei verschiedene Dinge, also können Sie sie auf einer 2D-Ebene als einen Kreis darstellen, dessen Radius die Gesamtenergie ist. Wenn Sie von einem zum anderen konvertieren, bewegt es sich um den Kreis. Sie können seine Bewegung mit komplexen Zahlen darstellen.

Sie können das mit allem tun, was zwischen zwei Formen hin und her konvertiert, aber manchmal erfordert es einfachere mathematische Berechnungen mit komplexen Zahlen als zu anderen Zeiten.

Manchmal passen Dinge zu Drehungen in 4 Dimensionen, und dann können Sie Quaternionen verwenden, als würden Sie komplexe Zahlen für 2 Dimensionen verwenden. Sie können elliptische Umlaufbahnen einfach mit Quaternionen darstellen – noch einfacher, als Sie sie für 3D-Rotationen verwenden können. Für jeden Winkel entlang der Umlaufbahn können Sie die 3D-Position und auch die Zeit erhalten – wie weit sie vor oder hinter der Zeit liegt, in der sie diesen Winkel in einer kreisförmigen Umlaufbahn erreichen würde.

Verwenden Sie die Mathematik, wo immer es passt.

Wenn positive reelle Zahlen Vorwärtszahlen und negative reelle Zahlen Rückwärtszahlen sind, dann sind imaginäre Zahlen Seitwärtszahlen.

In Bezug auf Winkel könnte man sich vorstellen, dass positive reelle Zahlen einen Winkel von 0° haben, negative Zahlen einen Winkel von 180° und seitliche oder imaginäre Zahlen haben einen Winkel von ±90°. Dies ist in der Elektrotechnik bei der Angabe von Impedanzen hilfreich. Eine Impedanz ist die Wechselstromversion des Widerstands in einem Gleichstromkreis. Es hat eine unruhige Komponente, die den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung nicht ändert, und eine Reaktanz, die den Winkel zwischen ihnen um ± 90 ° ändert. (Das Vorzeichen hängt davon ab, ob die Reaktanz eine Kapazität oder eine Induktivität ist.)

Wenn Sie die beiden zu einer „Zahl“ kombinieren möchten, können Sie komplexe Zahlen verwenden, bei denen der Realteil der Widerstand ist und der Imaginärteil die Reaktanz wird. Formeln funktionieren dann weiterhin genauso wie die einfachen Ohmschen Gesetze, die Widerstand verwenden, aber stattdessen mit komplexen Zahlen. Sowohl Widerstand als auch Reaktanz werden gleichzeitig berücksichtigt.

Grundsätzlich können überall dort, wo Sie Dinge haben, die auf irgendeine Weise um 90 ° voneinander entfernt sind, imaginäre Zahlen nützlich sein. Das können x- und y-Koordinaten sein oder wo sowohl Sinus- als auch Kosinuswellen auftreten.

Wenn Sie also zweidimensionale Zahlen benötigen, könnten sie der richtige Weg sein. Für dreidimensionale oder mehrdimensionale Zahlen würden Sie wahrscheinlich zu Tensoren übergehen.

Es ist eine gute Idee, sich die imaginären Zahlen als Zahlen vorzustellen, die senkrecht zu den reellen Zahlen stehen. Die Multiplikation einer reellen Zahl mit -1 „dreht“ sie um 180° auf der Linie der reellen Zahlen. Durch Multiplizieren einer reellen Zahl mit i wird sie um 90° gedreht, sodass sie auf der imaginären Linie landet. Erneutes Multiplizieren mit i dreht es um 90 Grad weiter, sodass es wieder auf der realen Achse landet. Also i*i=-1. Das ist alles unglaublich einfach, aber so gehe ich gerne komplexe Zahlen in komplizierteren Szenarien mit komplexen Exponentialen und Differentialgleichungen usw. an.

Letztlich sind imaginäre Zahlen nicht „unphysischer“ als negative Zahlen. Negative Zahlen erweitern die Linie positiver reeller Zahlen, indem sie einige Zahlen nach links hinzufügen, und imaginäre Zahlen erweitern die reellen Zahlen, indem sie einige Zahlen senkrecht hinzufügen. Die Verwendung sowohl negativer als auch imaginärer Zahlen könnte aus Gleichungen eliminiert werden, aber es würde sie viel weniger bequem machen.

Beim Umgang mit Sinusfunktionen, die phasenverschoben sind, wie in Wechselstromkreisen oder Wellen, ist es normalerweise möglich, die Gleichungen in eine Form zu bringen, die der Addition der x-Komponenten von zwei oder mehr Vektoren ähnelt, um die x-Komponente des resultierenden Vektors zu erhalten. Die Vektoren können als sich in einer 2D-Ebene drehend angesehen werden. Es ist oft bequemer, mit den Vektoren zu arbeiten als mit den Komponenten. Wenn die Vektoren in einer xy-Ebene visualisiert werden, sind nur die x-Komponenten signifikant. Wenn sie in der komplexen Zahlenebene visualisiert werden, werden sie bequem durch komplexe Funktionen dargestellt, aber wiederum haben in den meisten Fällen nur die reellen Komponenten der Vektoren physikalische Bedeutung.

Entschuldigung für eine lange Geschichte, die nur den Titel Ihrer Frage anspricht (und nicht die inneren Fragen).

Ich erinnere mich an das erste Mal, als ich in der Schule mit komplexen Zahlen in Berührung kam. Der Lehrer (für Mathematik, nicht für Physik) erklärte uns, wie man quadratische Gleichungen löst ( a.x^2+b.x+c=0). Nachdem er uns die Methode gegeben hatte, landete er bei der bekannten Lösung für die Wurzeln:

Natürlich dauerte es nicht lange, bis ein aufgeweckter Schüler dem Lehrer sagte: „Hey, aber was passiert dann, wenn der Ausdruck in der Quadratwurzel negativ ist?“ Zum Beispiel lösen x^2+1=0, Ihre Wurzeln werden sein:

Alle ( oder die meisten ) der Klasse verstanden das Rätsel und fingen an, sich am Kopf zu kratzen, da sie sicher wussten, dass keine Zahl quadriert werden kann und ein negatives Vorzeichen behält ...

iDer Lehrer fuhr völlig ungestört fort: „Das ist kein Problem, dafür können wir Werkzeuge herstellen i^2=-1. Und er fuhr fort, die komplexen Zahlen und die Regeln in der komplexen Ebene einzuführen.

Wieder dauerte es nicht lange, bis eine Stimme aus dem verblüfften Publikum rief: „Also ist dies tatsächlich ein verworrener Weg, um Regeln zu umgehen, die Sie uns zuvor beigebracht haben (wie eine quadrierte Zahl immer positiv sein wird). Was nützt das? Komplexität? ( kein Wortspiel beabsichtigt, obwohl ich mich jetzt frage, woher die komplexen Zahlen ursprünglich ihren Namen haben ).

Also der Lehrer hat es so formuliert:

Es gibt viele physikalische Gleichungen, die einem quadratischen Gesetz folgen, oder noch komplizierteren Gesetzen, bei denen die Lösungen Quadratwurzeln potenziell negativer Zahlen beinhalteten, und (vor den komplexen Zahlen) konnten die Ärzte ihr System nicht vollständig lösen, also baten sie Mathematiker, a zu definieren neue Domäne (größer als die RealDomäne), in der diese Systeme lösbar wären. Die komplexen Zahlen sind das Werkzeug, das Mathematiker entwickelt haben.

Inzwischen ist mein Verständnis der komplexen Zahlen etwas tiefer, aber diese einfache Beschreibung gilt immer noch. Die komplexen Zahlen sind nur ein mathematisches Werkzeug . Eine komplexe Zahl hat kein anderes physikalisches Äquivalent als das, was Sie ihr geben.

Dasselbe lässt sich über die Zahlen sagen Real. Ich arbeite mit einem Multisensor-Tool, das 10 verschiedene Parameter parallel misst. Die Ausgabe für jeden ist nur eine Liste von Zahlen, das weiß nur ich selbst:

• die erste Zahl stellt ein Gewicht dar, in [N] ,
• der zweite ist ein Moment, in [Nm]
• die dritte ist eine Beschleunigung, in [G]
• usw ...

Alle unterschiedlichen physikalischen Dimensionen, doch auf meinem Bildschirm sind sie alle nur Zahlen , nur in meinem Kopf weiß ich, dass diese hier dies darstellt, diese hier jenes darstellt …

Bei komplexen Zahlen hast du 2 Komponenten. Jeder kann eine andere physikalische Dimension darstellen (elektrisches Feld und magnetisches Feld für EM). Der iTeil ist nur das mathematische Werkzeug, das es Ihnen ermöglicht, diese Zahlen in einer anmutigeren Form zu handhaben (weil Sie auch jede Komponente separat nur mit reellen Zahlen beschreiben könnten, aber die Gleichungen werden wirklich hässlich). Das ian sich bedeutet physikalisch nichts.