Das Konjugat der Schrödinger-Gleichungslösung

Ich habe ein paar andere Diskussionen zu diesem Thema gelesen (z. B. Verwirrung der Schrödinger-Gleichung und komplexe Konjugate und Schrödinger-Gleichung und ihre komplexe Konjugate ), aber ich bin immer noch verwirrt über die Beziehung zwischen einer Lösung der Schrödinger-Gleichung und der Konjugat dieser Lösung .

Genauer gesagt, warum ist das so

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*-V\psi^*$$ anstatt $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*+V\psi^*~?$$

Einerseits verstehe ich das, wenn$z_1=z_2$, Dann$z_1^*=z_2^*$. Die Schrödinger-Gleichung gibt die Äquivalenz zweier komplexer Zahlen an. Das erste ist

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x+i\psi_y)=-\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y+i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x$$

und das zweite ist

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+v\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x+v\psi_x+i(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y+v\psi_y)$$

Wenn diese beiden komplexen Zahlen gleich sind, dann sind es auch ihre Konjugierten

$$-\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x+v\psi_x-i(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y+v\psi_y)$$

So

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x-i\psi_y)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\psi_x-i\psi_y)+V(\psi_x-i\psi_y)$$

Und

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*-V\psi^*$$

Andererseits$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*$kann direkt berechnet werden:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x - i\psi_y)$

$=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x-i(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y)$

$=(-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x + V\psi_x)-i(-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y + V\psi_y)$

$=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\psi_x-i\psi_y)+V(\psi_x-i\psi_y)$

$=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*+V\psi^*$

Dies widerspricht dem früheren Ergebnis. Ich bin mir bewusst, dass dieses zweite Argument falsch ist, aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Jede Hilfe wäre willkommen!