Nicht komplexe Wellenfunktion

Sie betrachten eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger -Gleichung als Ihre$\psi(x)$hat keine Zeitabhängigkeit, und die Basislösungen der zeitunabhängigen Gleichung können oft real sein. Linearkombinationen dieser Basislösungen können komplex sein.

Die Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger -Gleichung sind immer Linearkombinationen der Form

$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar} \psi_n(x)$$ und wird komplex, auch wenn das zeitunabhängig funktioniert $\psi_n(x)$sind real.

Sich beziehen$a$zu der Unsicherheitsrelation, die Sie berechnen müssten$\Delta x^2$Und$\Delta p^2$mit Ihrem$\psi(x)$(die Sie normalisieren müssen) und zu finden, wie$a$geht in das Produkt ein$\Delta x\Delta p$.

Um Ihnen einen Hinweis zu geben, füge ich die Handlung von ein$\psi(x)^2$für$a=1$(Schwarz),$a=2$(blau) und$a=1/2$(Rot).

Sie haben Recht, die "echte" Wellenfunktion für ein Teilchen ist eine komplexe Funktion$\Psi(\vec{x}, t)$, die der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung folgt:

$$i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{x}, t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{x}, t)$$ Wo $\hat{H}$ist der Hamilton-Operator, der die Gesamtenergie des Systems angibt, bestehend aus der kinetischen Energie und der potentiellen Energie, die durch die potentielle Energiefunktion gegeben ist $V(\vec{x}, t)$: $$\hat{H}\Psi(\vec{x}, t) := -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\vec{x}, t) + V(\vec{x}, t)\Psi(\vec{x}, t)$$ Wenn die potentielle Energiefunktion wirklich eine Funktion der Zeit sowie der Position ist, wird es sehr schwierig, diese Gleichung zu lösen. Glücklicherweise ist die potentielle Energie jedoch fast immer nur von der Position abhängig und wird daher zu einer einfacheren Funktion $V(\vec{x})$. In diesem Fall kann die Schrödinger-Gleichung gelöst werden, indem die Wellenfunktion angenommen wird $\Psi(\vec{x}, t)$ein einfaches Produkt einer Funktion sein $\psi(\vec{x})$allein abhängig von der Position und einer Funktion $f(t)$das hängt nur von der Zeit ab: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})f(t)$$ Dann sind wir in der Lage, die orts- und zeitabhängigen Teile der Gleichung zu trennen und daraus das zu finden $f(t)$gleich sein muss $e^{-iEt/\hbar}$, Wo $E$eine reale Konstante ist (die nachweislich die Energie des Teilchens ist). Außerdem, $\psi(\vec{x})$muss der sogenannten zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung folgen: $$E\psi(\vec{x}) = \hat{H}\psi(\vec{x})$$ Wo $E$ist dieselbe Konstante. Das lässt sich belegen $\psi(\vec{x})$kann immer als reelle Funktion angesehen werden (Das heißt, wenn Sie eine Lösung für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung haben, die nicht immer real ist, können Sie sie immer als Linearkombination von Einsen ausdrücken, die es sind. Es bedeutet nicht dass jede Lösung unbedingt real sein muss.). Dann haben wir: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})e^{-iEt/\hbar}$$ Denken Sie daran, dass dies nur unter der Annahme ist, dass $\Psi(\vec{x}, t)$KANN als ein solches Produkt geschrieben werden. Alle anderen Lösungen können dann jedoch als lineare Kombinationen dieser einfachen zeitunabhängigen Lösungen ausgedrückt werden, wie Zero bereits darauf hingewiesen hat.

Ihre Frage setzt eine zeitunabhängige Wellenfunktion voraus, die gleich ist

$$\psi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$$ (Dies ist eine eindimensionale Funktion, also lasse ich den Pfeil weg) Daher wäre die zeitabhängige Wellenfunktion, die Sie kennen $$\Psi(x, t) = Ae^{-\alpha x^2}e^{-iEt/\hbar}$$ Finden $E$, können Sie die Schrödinger-Gleichung anwenden: $$EAe^{-\alpha x^2} = \hat{H}(Ae^{-\alpha x^2})$$ (Sie müssten jedoch die potentielle Energiefunktion kennen, die Sie zum Ableiten dieser Wellenfunktion verwendet haben.)