Variationsableitung der Schrödinger-Gleichung

Bei der Lektüre von Weinstocks Variationsrechnung erklärt er auf den Seiten 261-262 , wie Schrödinger anscheinend zuerst die Schrödinger-Gleichung aus Variationsprinzipien herleitete.

Leider glaube ich nicht, dass Seite 262 angezeigt wird, also erkläre ich das Wesentliche:

„In seiner ersten Arbeit“ betrachtet er die reduzierte Hamilton-Jacobi-Gleichung

$$\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ V(x,y,z) \ - \ E \ = \ 0$$

für ein einzelnes Masseteilchen$m$in einem beliebigen, durch ein Potential beschriebenen Kraftfeld$V = V(x,y,z)$.

Mit einem Variablenwechsel$S \ = \ K\log(\Psi)$, (wo$K$wird sich herausstellen$\hbar=h/2\pi$) es reduziert sich auf

$$\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ (V \ - \ E)\Psi^2 \ = 0.$$

Anstatt dies zu lösen, entschied er sich aus meiner Sicht zufällig für die Integration über den Raum

$$I = \iiint_\mathcal{V}\left(\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] + (V - E)\Psi^2\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$$

dann extremisiert Weinstock dieses Integral, was uns die Schrödinger-Gleichung liefert.

Anscheinend, wie das Buch dann auf Seite 264 behauptet, versuchte er erst nach dieser Herleitung, seine Idee mit deBroglies Welle-Teilchen-Dualität zu verbinden.

Daher habe ich drei Fragen,

1) Was ist die Rechtfertigung für Feynmans berühmtes Zitat:

Woher haben wir das [die Schrödinger-Gleichung]? Es ist nicht möglich, es aus irgendetwas abzuleiten, das Sie wissen. Es kam aus dem Kopf von Schrödinger. Die Feynman-Vorlesungen zur Physik

im Lichte der obigen Ableitung. Ich stelle fest, dass alle Ableitungen, die ich von der Schrödinger-Gleichung gesehen habe, so etwas wie die Verwendung von Operatoren wie z$i\hbar\partial/\partial t = E$Um es abzuleiten, erwähnen Sie immer, dass es lediglich heuristisch ist, aber was Schrödinger anscheinend ursprünglich tat, scheint ein Umweg zur Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung zu sein, ohne dass Heuristik in Sicht ist. Welche Feinheiten übersehe ich hier? Warum sollte ich ein Dummkopf sein, jemanden arrogant zu „korrigieren“, der sagt, dass Schrödinger nicht von allem abgeleitet werden kann, was Sie wissen?

Hinweis: Ich habe eine Menge Threads zu diesem Thema in diesem Forum gelesen und keiner kommt auch nur in die Nähe der Variationsrechnung. Tatsächlich widerspricht das Obige dieser Erklärung hier , die sich sogar auf Schrödingers Nobelpreisvortrag bezieht, also ist es hoffentlich kein Duplikat.

2) Ist der mathematische Trick, den Schrödinger verwendet hat, etwas, das Sie verwenden können, um Probleme zu lösen?

3) Warum können Sie im relativistischen Fall nicht genau diese Ableitung verwenden?

Edit: Zum Thema komplexe Zahlen:

Auf Seite 276, 14 Seiten, nachdem er erklärt hat, was ich gepostet habe, und nachdem er erklärt hat, wie Schrödinger seine Arbeit mit der Arbeit von DeBroglie verknüpft hat, sagt Weinstock erst dann:

In einer vollständigeren Untersuchung der Quantenmechanik als der vorliegenden die Zulässigkeit komplexer Eigenfunktionen$\Psi$erweist sich allgemein als notwendig. Wenn$\Psi$Komplex ist die Menge$|\Psi|^2$wird insofern als Positionswahrscheinlichkeitsdichtefunktion verwendet$\Psi^2$ist nicht auf reelle nichtnegative Werte beschränkt.

Anscheinend war Schrödinger in der Lage, das, was ich gepostet habe, mit reellwertigen Funktionen zu tun und K so zu haben, wie ich es definiert habe, ohne i. Wenn Sie Weinstock folgen, zeigt er, wie die Energieniveaus von Wasserstoffatomen ohne komplexe Zahlen erklärbar sind, dh er kann eine physikalische Interpretation der Eigenwerte (diskrete Energieniveaus) der Schrödinger-Gleichung ableiten, die mit dem Experiment übereinstimmt (siehe Abschnitt 11.3 Seite 279 ff.). Soweit ich es verstehe, wird man bei dem Versuch, eine physikalische Interpretation der Eigenfunktionen zu finden, zu komplexen Zahlen gezwungen, obwohl sich laut dem Buch anscheinend zeigen lässt, dass dies notwendig ist. Das ist etwas zu berücksichtigen!